Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Fourier de tempo contínuo e discreto, diretas ou inversas, dos seguintes sinais:
x(t)=t e^-3|t-1|

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier contínua de
x(t)=t,e^-3|t-1|
Vamos usar duas propriedades principais:
– Deslocamento no tempo: se h(t) tem transformada H(omega), então h(t-a) tem transformada e^-jomega aH(omega).
– Multiplicação por t: se g(t) tem transformada G(omega), então t,g(t) tem transformada j,ddomegaG(omega).

Passo 2

Definimos
h(t)=e^-3|t|,
cuja transformada conhecida (tabela) é
H(omega)=integral-infty^inftye^-3|t|e^-jomega tdt=2cdot39+omega^2=69+omega^2

Passo 3

Note que
g(t)=e^-3|t-1|=h(t-1)
Pela propriedade de deslocamento, sua transformada é
G(omega)=e^-jomegacdot1H(omega) =6,e^-jomega9+omega^2

Passo 4

Agora queremos x(t)=t,g(t). Aplicando a propriedade de multiplicação por t:
X(omega) =j,ddomegaG(omega) =j,ddomega!l(6,e^-jomega9+omega^2r)

Passo 5

Calculemos a derivada. Seja
G(omega)=N(omega)D(omega), N(omega)=6,e^-jomega, D(omega)=9+omega^2
Temos
N'(omega)=-6j,e^-jomega, D'(omega)=2omega,
então
ddomegaG(omega) =N' D - N D'D^2 =(-6j,e^-jomega)(9+omega^2)-6,e^-jomega,2omega(9+omega^2)^2
Multiplicando por j,
X(omega) =j,dGdomega =e^-jomega(9+omega^2)^2,jl[-6j(9+omega^2)-12omegar]
Como j(-6j)=6 e j(-12omega)=-12jomega, o numerador vira
6(9+omega^2)-12jomega=6(omega^2+9)-12jomega
Além disso omega^2+9=9+omega^2, logo
X(omega) =6(9+omega^2),e^-jomega-12jomega,e^-jomega(9+omega^2)^2 =6,e^-jomega9+omega^2 -12jomega,e^-jomega(9+omega^2)^2

Resposta

X(omega) =6,e^-jomega9+omega^2 -12,jomega,e^-jomega(9+omega^2)^2

Exercícios relacionados