Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções dadas.
y=1x^2-4

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem (intervalo de valores assumidos) da função racional
y = 1x^2-4
Aqui o conteúdo é:
  1. Para o domínio, identificar onde o denominador se anula e excluir esses pontos.
  2. Para a imagem, estudar os sinais e extremos de x^2-4 e usar a transformação y=1/t, com t=x^2-4.

Passo 2

Para o domínio basta exigir que o denominador não seja zero:
x^2-4 neq 0 Longrightarrow x^2 neq 4 Longrightarrow x neq pm 2
Logo o domínio é
Rsetminus-2,2

Passo 3

Defina t = x^2-4. Como x^2>=0, temos
t = x^2-4 >= -4
Como excluímos x^2-4=0, t percorre
[-4,0);cup;(0,infty)
E a função fica y=1/t.

Passo 4

Agora basta inverter os intervalos de t:
  • Para tin(0,infty), y=1/t varia em (0,infty).
  • Para tin[-4,0), como a função 1/t é decrescente em valores negativos, t=-4 y=-tfrac14 e, quando tto0^-, yto-infty. Logo
yin(-infty,-tfrac14]
Unindo as duas partes, a imagem é
(-infty,-tfrac14];cup;(0,infty)

Resposta

Domínio: Rsetminus-2,2
Imagem: (-infty,-tfrac14]cup(0,infty)

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