Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para a função f(x) =
determinarmos o domínio, a imagem e fazermos um esboço do gráfico. O tema aqui é funções exponenciais de base positiva diferente de 1 e vamos usar a propriedade de que elas aceitam qualquer x real e têm valores sempre positivos.
Passo 2
Para o domínio, como toda função exponencial de base positiva está definida para qualquer real, concluímos que o domínio é
. Isso decorre do fato de que não há restrição de operação para x em
.
Passo 3
Para a imagem, note que
é sempre maior que zero (nunca atinge zero nem valores negativos). Assim, a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Para entender o comportamento, avaliamos alguns pontos e limites: f(0)=
, f(1)=
, f(-1)=
. Além disso, quando x→+∞,
(decai para zero); e quando x→−∞,
. Isso mostra que a curva é estritamente decrescente.
Passo 5
No esboço, traçamos os eixos x e y, marcamos os pontos (0,1), (1,1/3) e (-1,3), e desenhamos uma curva suave que desce de +∞ (quando x→−∞) passando por esses pontos e se aproxima de y=0 sem nunca tocá-la (quando x→+∞).
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Esboço: curva exponencial decrescente passando por (0,1), (1,1/3), (-1,3), tendendo a y=0 quando x→+∞ e a +∞ quando x→−∞.