Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x) = (1/3)^x determinarmos o domínio, a imagem e fazermos um esboço do gráfico. O tema aqui é funções exponenciais de base positiva diferente de 1 e vamos usar a propriedade de que elas aceitam qualquer x real e têm valores sempre positivos.

Passo 2

Para o domínio, como toda função exponencial de base positiva está definida para qualquer real, concluímos que o domínio é R. Isso decorre do fato de que não há restrição de operação para x em (1/3)^x.

Passo 3

Para a imagem, note que (1/3)^x é sempre maior que zero (nunca atinge zero nem valores negativos). Assim, a imagem é o intervalo (0, +infty).

Passo 4

Para entender o comportamento, avaliamos alguns pontos e limites: f(0)= (1/3)^0=1, f(1)= (1/3)^1=1/3, f(-1)= (1/3)^-1=3. Além disso, quando x→+∞, (1/3)^x→0 (decai para zero); e quando x→−∞, (1/3)^x=3^-x→+∞. Isso mostra que a curva é estritamente decrescente.

Passo 5

No esboço, traçamos os eixos x e y, marcamos os pontos (0,1), (1,1/3) e (-1,3), e desenhamos uma curva suave que desce de +∞ (quando x→−∞) passando por esses pontos e se aproxima de y=0 sem nunca tocá-la (quando x→+∞).

Resposta

Domínio: R. Imagem: (0, +infty). Esboço: curva exponencial decrescente passando por (0,1), (1,1/3), (-1,3), tendendo a y=0 quando x→+∞ e a +∞ quando x→−∞.

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