As questões 2. a 4. são referentes à equação diferencial y^prime-(tan t) y-csc t=0 para 0.
Seja
y(\pi / 4)=\sqrt{2} \ln (\sqrt{2} / 2)
sua condição inicial e
y(t)
sua solução geral. Qual é o valor da sua única constante de integração?
(a) 0
(d)
\sqrt{2} \ln (\sqrt{2} / 2)
(b)
\ln (\sqrt{2} / 2)
(e) NDA
©
2 \ln (\sqrt{2} / 2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem y' - (tan t),y = csc t no intervalo 0, e depois usar a condição inicial y(pi/4)=raiz2,ln(tfracraiz22) para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para equações lineares do tipo y' + P(t)y = Q(t), calculamos o fator integrante mu(t)=expl(integral P(t),dtr). Aqui temos P(t)=-tan t, então
mu(t)=expgl(integral -tan t,dtgr)=exp(lncos t)=cos t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por cos t:
cos t,y' - sin t,y = cot t
O lado esquerdo é a derivada de cos t,y, logo
ddt(cos t,y)=cot t

Passo 4

Integramos ambos os lados:
cos t,y=integralcot t,dt + C=ln|sin t|+C

Passo 5

Isolando y:
y=ln(sin t)+Ccos t

Passo 6

Aplicamos a condição inicial t=pi/4. Como sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22,
y(tfracpi4)=ln(tfracraiz22)+Ctfracraiz22=raiz2l(ln(tfracraiz22)+Cr)

Passo 7

Igualando ao valor dado raiz2,ln(tfracraiz22) e dividindo por raiz2 obtemos
ln(tfracraiz22)+C=ln(tfracraiz22)Longrightarrow C=0

Resposta

0

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