As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial (y^{\prime}=-\frac{x y \ln y+y^{2}}{x y \ln x+x^{2}}
), para
e
.
Considere as afirmativas a seguir.
i. Ela é separável.
ii. Ela tem uma solução constante.
iii. Ela é linear.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
(a) Nenhuma
© i.
(e) NDA
(b) iii.
(d) ii.
), para
e
.
Considere as afirmativas a seguir.
i. Ela é separável.
ii. Ela tem uma solução constante.
iii. Ela é linear.
(a) Nenhuma
© i.
(e) NDA
(b) iii.
(d) ii.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com domínio
Passo 2
Para testar se é separável, escrevemos
$$y’ = -\frac{y,(x\ln y + y)}{x,\bigl(x\ln x + x\bigr)} = -\frac{y}{x}\cdot\frac{x\ln y + y}{x\ln x + x}.
$$
Aqui o fator não se decompõe em produto de função só de
por função só de
, pois mistura
com
. Logo, não é separável.
Aqui o fator
Passo 3
Para verificar solução constante, suponha
. Então
exige
$$0 = -\frac{xC\ln C + C^2}{xC\ln x + x^2}.
$$
Para esto valer para todo , o numerador
teria que ser zero para todo
, o que não ocorre para nenhum
. Não há, portanto, solução constante positiva.
Para esto valer para todo
Passo 4
Para checar linearidade, note que uma EDO linear em
teria a forma
. Mas nossa equação envolve termos
e
, o que quebra a linearidade em
. Portanto não é linear.
Resposta
(a) Nenhuma