As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial (y^{\prime}=-\frac{x y \ln y+y^{2}}{x y \ln x+x^{2}}
), para
x>0, y>0
e
y ln x+x neq 0
.
Considere as afirmativas a seguir.
i. Ela é separável.
ii. Ela tem uma solução constante.
iii. Ela é linear.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
(a) Nenhuma
© i.
(e) NDA
(b) iii.
(d) ii.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = -x y ln y + y^2x y ln x + x^2,
com domínio x>0, y>0 e yln x + x neq 0. Precisamos classificar se ela é separável, se admite solução constante e se é linear.

Passo 2

Para testar se é separável, escrevemos
$$y’ = -\frac{y,(x\ln y + y)}{x,\bigl(x\ln x + x\bigr)} = -\frac{y}{x}\cdot\frac{x\ln y + y}{x\ln x + x}.
$$
Aqui o fator y' = -y,(xln y + y)x,l(xln x + xr) = -yxcdotxln y + yxln x + x não se decompõe em produto de função só de xln y + yxln x + x por função só de x, pois mistura y com ln y. Logo, não é separável.

Passo 3

Para verificar solução constante, suponha y(x)=C>0. Então y'=0 exige
$$0 = -\frac{xC\ln C + C^2}{xC\ln x + x^2}.
$$
Para esto valer para todo 0 = -xCln C + C^2xCln x + x^2 , o numerador x>0 teria que ser zero para todo xCln C + C^2, o que não ocorre para nenhum x. Não há, portanto, solução constante positiva.

Passo 4

Para checar linearidade, note que uma EDO linear em y teria a forma y' + P(x)y = Q(x). Mas nossa equação envolve termos ln y e y^2, o que quebra a linearidade em y. Portanto não é linear.

Resposta

(a) Nenhuma

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