Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
A função dada é f(x)=3^x, que é uma função exponencial de base maior que 1. Vamos precisar de conhecimentos sobre domínio e imagem de funções exponenciais e sobre como esboçar seu gráfico, identificando pontos notáveis e assíntotas.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que a definição de 3^x faz sentido para qualquer número real x. Não há restrições como raízes de índice par ou logaritmos. Logo, o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Para determinar a imagem, observamos que 3^x nunca zera e cresce sem limite superior quando x→+∞, enquanto quando x→-∞ ela se aproxima de zero sem jamais alcançá-lo. Portanto, os valores possíveis de f(x) são todos os números positivos.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos identificar características principais: a curva passa por (0,1) porque 3^0=1; por (1,3) pois 3^1=3; e por (-1,1/3) pois 3^{-1}=1/3. A função é estritamente crescente e tem assíntota horizontal y=0.
Passo 5
Com essas informações, desenhamos um eixo cartesiano, marcamos os pontos (−1,1/3), (0,1) e (1,3), traçamos a curva exponencial crescente que passa por eles e que se aproxima de y=0 à medida que x→-∞.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Gráfico: curva exponencial crescente com assíntota horizontal
, passando por
,
e
.