Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
A função dada é f(x) = 1 + e^{-x}. Aqui o assunto é função exponencial invertida e transladada. Para resolver, vamos precisar: definir o domínio usando a definição de exponencial, calcular limites para achar a imagem, estudar a derivada para ver monotonicidade e identificar assíntota, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Para encontrar o domínio, lembramos que a função exponencial $e^{-x}$ está definida para todo \x\) real. Logo, não há restrição em $x$. Isso nos dá:
Passo 3
Para achar a imagem, observamos que \e^{-x}\) é sempre positivo, isto é, \e^{-x} > 0\). Assim \f(x) = 1 + e^{-x} > 1\). Para confirmar os extremos, fazemos limites:
Portanto: $Im(f) = (1,\infty)$.
Passo 4
Para entender a forma do gráfico, calculamos a derivada:
que é sempre negativa. Logo, a função é estritamente decrescente. Além disso, pelo limite em $+\infty$ vemos que há uma assíntota horizontal em \y = 1\).
Passo 5
Para esboçar o gráfico, marcamos o ponto \f(0) = 1 + e^0 = 2\) como intercepto em $0,2)$. A curva parte de \y \to +\infty\) quando $x \to -\infty$, decresce sempre e se aproxima assintoticamente de \y = 1\) quando $x \to +\infty$.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: curva exponencial decrescente com assíntota horizontal , intercepto em
.
Imagem:
Esboço do gráfico: curva exponencial decrescente com assíntota horizontal