As questões 3. a 5. são referentes à equação diferencial y^prime prime+8 y^prime-9 y=0, de variável independente t >= 0 y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Sejam y(0)=1 e y^prime(0)=0 suas condições iniciais, qual é o valor de C1+C2 ?
(a) 1
(b) 9
© 0
(d) -8
(e) NDA

Passo 1

O problema trata de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, dada por y'' + 8y' - 9y = 0. As soluções fundamentais são y1 e y2, e a solução geral é y = C1 y1 + C2 y2. Com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, queremos encontrar C1 + C2.

Passo 2

Formamos a equação característica correspondente:
r^2 + 8r - 9 = 0
Resolvendo-a, obtemos as raízes r1 = 1 e r2 = -9. Logo, duas soluções independentes são e^t e e^-9t, e a solução geral fica:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-9t

Passo 3

Derivando essa expressão, temos:
y'(t) = C1 e^t - 9C2 e^-9t

Passo 4

Aplicando t=0 nas condições iniciais:
y(0)=C1 + C2 = 1,
y'(0)=C1 - 9C2 = 0

Passo 5

Da segunda equação sai C1 = 9C2. Substituindo na primeira:
9C2 + C2 = 1 implies 10C2 = 1 implies C2 = tfrac110,
e então C1 = tfrac910

Passo 6

Agora basta somar as constantes:

Resposta

1

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