Resolver as equações separáveis seguintes :

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável 3l(xy'+2yr)=xyy'. O conteúdo aqui é separação de variáveis, e vamos precisar isolar y', separar x e y e integrar.

Passo 2

Primeiro, desenvolvemos e agrupamos os termos com y':
3x y' + 6y = x y y'
Passamos o termo x y y' para o lado esquerdo:
3x y' - x y y' + 6y = 0
e fatoramos y':
y'l(3x - x yr) + 6y = 0

Passo 3

Agora isolamos y':
y' = dydx = -6yx(3 - y)
Em seguida, separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
3 - yy,dy = -6,dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(3y - 1r),dy = integral -6,dxx
No lado esquerdo temos
3ln|y| - y,
e no direito
-6ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Juntando os dois resultados, obtemos a solução implícita:
3ln|y| - y = -6ln|x| + C
Podemos rearranjar para uma forma mais simétrica, por exemplo:
3ln|y| + 6ln|x| - y = C

Resposta

3\ln|y| + 6\ln|x| - y = C

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