Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
f(x)=e^-x

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o domínio, a imagem e fazer um esboço do gráfico da função exponencial f(x)=e^-x. Isso cai no conteúdo de funções exponenciais, onde vamos usar a definição de exponencial, ver sua monotonicidade e comportamentos limite.

Passo 2

Função exponencial está definida para todo número real. Logo, o domínio de f é R, pois não há restrição em x para calcular e^-x.

Passo 3

Note que e^-x>0 para todo xinR. Com isso, a imagem (ou contra–imagem) de f é o intervalo (0,infty), pois nunca alcança 0 nem valores negativos, e vai até infinito positivo quando xto-infty.

Passo 4

Para esboçar o gráfico: marque o ponto (0,1), pois f(0)=e^0=1. À medida que x cresce, -x fica muito negativo e e^-xto0, então há assíntota horizontal em y=0. Para xto-infty, -xto+infty e e^-xto+infty. Além disso, f'(x)=-e^-x<0, mostrando que é decrescente. Junte tudo e trace a curva que cai de +infty em xto-infty até se aproximar de y=0 quando xto+infty, passando por (0,1).

Resposta

Domínio: R. Imagem: (0,infty). Gráfico: curva exponencial decrescente com ponto em (0,1) e assíntota horizontal em y=0.

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