As questões 8. a 10 . são referentes à equação diferencial y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0, para y neq-x / 2.
Considere as afirmativas a seguir.
i. Ela é separável.
ii. Ela tem uma solução constante.
iii. Ela é homogênea.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
(a) ii. e iii.
(b) iii.
© i. e ii.
(d) i. e iii.
(e) NDA

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos a equação diferencial
y(x+y+1),dx + (x+2y),dy = 0
queremos saber se ela é separável, se admite solução constante e se é homogênea.

Passo 2

Para testar separabilidade, escrevemos
dydx = -y(x+y+1)x+2y
Para ser separável, deveríamos reescrever isso como uma função só de x vezes uma só de y, mas o termo x+y+1 impede essa separação. Logo, não é separável.

Passo 3

Para encontrar soluções constantes, impomos y=c e dy=0. A equação vira
c,(x+c+1),dx = 0
para todo x. Para isso acontecer, só restam duas opções: c=0 (que funciona) ou x+c+1=0 para todo x (impossível). Então existe sim uma solução constante: y=0.

Passo 4

Para verificar homogeneidade, analisamos as funções
M(x,y)=y(x+y+1)e N(x,y)=x+2y
Uma equação é homogênea se M(tx,ty)=t^kM(x,y) e o mesmo para N. Aqui, M tem termos de grau 2 e 1, e N só de grau 1, não obedecendo à mesma homogeneidade. Logo, não é homogênea.

Resposta

(e)

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