As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial (y^{\prime}=-\frac{x y \ln y+y^{2}}{x y \ln x+x^{2}}
), para
x>0, y>0
e
y ln x+x neq 0
.
Seja
y(1)=1
sua condição inicial e sua solução na forma
F(x, y)=C
com
C
constante. Qual é o valor de
C
?
(a) 0
© e
(e) NDA
(b) 1
(d) 2

Passo 1

Vamos estudar a equação diferencial dada por y' = -x y ln y + y^2x y ln x + x^2, com condição inicial y(1)=1. Nosso objetivo é achar a solução implícita na forma F(x,y)=C e determinar o valor de C. O conteúdo principal aqui é identificar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial:
$$ (x y \ln y + y^2),dx ;+
(x y \ln x + x^2),dy = 0.$$

Passo 3

Chamamos M(x,y)=x y ln y + y^2 e N(x,y)=x y ln x + x^2. Calculando as derivadas parciais:
$$\frac{\partial M}{\partial y} = x(\ln y +1) + 2y,\quad
\frac{\partial N}{\partial x} = y(\ln x +1) + 2x.$$

Passo 4

Elas não coincidem, então não é exata. Precisamos de um fator integrante.

Passo 5

Observando a forma, testamos mu(x,y)=tfrac1xy. Multiplicando a equação por 1/(xy) obtemos:
(ln y + tfracyx),dx + (ln x + tfracxy),dy = 0

Passo 6

Agora definimos M1=ln y + y/x e N1=ln x + x/y. Checando exatidão:
$$\frac{\partial M_1}{\partial y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x},\quad
\frac{\partial N_1}{\partial x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y},$$

Passo 7

são iguais, então a forma é exata com esse fator integrante.

Passo 8

Integramos M1 em relação a x:
F(x,y) = integral(ln y + tfracyx),dx = xln y + yln x + h(y)

Passo 9

Como partial F/partial y deve ser N1, derivamos:
partial Fpartial y = xy + ln x + h'(y) = ln x + xy

Passo 10

Isso obriga h'(y)=0, logo h(y) é constante e podemos escrever a solução geral:
F(x,y) = xln y + yln x = C

Passo 11

Aplicando a condição inicial (x,y)=(1,1):
F(1,1) = 1cdotln1 + 1cdotln1 = 0 + 0 = 0

Passo 12

Portanto, o valor da constante C é zero.

Resposta

0

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