As questões 5. a 7. são referentes à equação diferencial (y^{\prime}=-\frac{x y \ln y+y^{2}}{x y \ln x+x^{2}}
), para
e
.
Seja
y(1)=1
sua condição inicial e sua solução na forma
com
constante. Qual é o valor de
?
(a) 0
© e
(e) NDA
(b) 1
(d) 2
), para
e
.
Seja
y(1)=1
sua condição inicial e sua solução na forma
com
constante. Qual é o valor de
?
(a) 0
© e
(e) NDA
(b) 1
(d) 2
Passo 1
Vamos estudar a equação diferencial dada por
, com condição inicial
. Nosso objetivo é achar a solução implícita na forma
e determinar o valor de
. O conteúdo principal aqui é identificar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial:
$$ (x y \ln y + y^2),dx ;+
(x y \ln x + x^2),dy = 0.$$
Passo 3
Chamamos
e
. Calculando as derivadas parciais:
$$\frac{\partial M}{\partial y} = x(\ln y +1) + 2y,\quad
\frac{\partial N}{\partial x} = y(\ln x +1) + 2x.$$
Passo 4
Elas não coincidem, então não é exata. Precisamos de um fator integrante.
Passo 5
Observando a forma, testamos
. Multiplicando a equação por
obtemos:
Passo 6
Agora definimos
e
. Checando exatidão:
$$\frac{\partial M_1}{\partial y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x},\quad
\frac{\partial N_1}{\partial x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y},$$
Passo 7
são iguais, então a forma é exata com esse fator integrante.
Passo 8
Integramos
em relação a
:
Passo 9
Como
deve ser
, derivamos:
Passo 10
Isso obriga
, logo
é constante e podemos escrever a solução geral:
Passo 11
Aplicando a condição inicial
:
Passo 12
Portanto, o valor da constante
é zero.
Resposta
0