Resolver as equações separáveis seguintes :

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
(1 + x^2)y^3 - y^2x^3y' = 0,
ou seja, encontrar a família de funções y(x). Vamos usar separação de variáveis e integrais. Começamos identificando que é um ODE de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevo a equação de forma explícita para y' = tfracdydx. Isolando o termo com y':
(1 + x^2)y^3 = y^2x^3y'
Divido ambos os lados por y^2 (supondo yneq0) e por x^3 (supondo xneq0) para obter:
y' = dydx = 1 + x^2x^3,y

Passo 3

Agora separo as variáveis “ y” e “ x”:
dyy = (1 + x^2x^3)dx = l(x^-3 + x^-1r)dx
Isso nos permite integrar cada lado em função de sua variável.

Passo 4

Integro ambos os lados:
integral dyy = integral l(x^-3 + x^-1r)dx
Pela regra de potências e logaritmo:
ln|y| = integral x^-3dx + integral x^-1dx = l(-tfrac12x^-2r) + ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, isolo y exponenciando:
ln|y| = -tfrac12x^2 + ln|x| + C Longrightarrow |y| = e^C ;x;e^-1/(2x^2)
Defino A = e^C (constante não nula) e removo o valor absoluto, obtendo a solução geral:
y(x) = A,x,e^-1/(2x^2),
onde A é uma constante real arbitrária.

Resposta

y(x) = A,x,e{-1/(2x{2})}

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