Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
h(x)=tg(x2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=tan!l(tfracx2r)
O conteúdo é trigonometria: precisamos usar a definição de tan, identificar onde ela está indefinida (domínio), ver que sua imagem é todo o conjunto dos reais e depois entender o período e as assíntotas verticais para esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, note que a tangente está indefinida sempre que o argumento é
x2 = pi2 + kpi, kinZ
Multiplicando por 2, obtemos
x = pi + 2kpi, kinZ
Logo,
Dom(h)=Rsetminus,pi+2kpi : kinZ

Passo 3

A imagem de tan é todo o conjunto dos números reais, ou seja, à medida que tfracx2 percorre um intervalo aberto entre duas assíntotas, tan(tfracx2) varia de -infty a +infty. Portanto,
Im(h)=R

Passo 4

O período de tan(u) é pi em u. Como u=x/2, o período em x satisfaz
De<a u = pi;Longrightarrow;De<a x = 2pi
As assíntotas verticais ocorrem em
x = pi + 2kpi,
e a cada intervalo l(pi+2kpi,;pi+2(k+1)pir) a função sobe de -infty a +infty.

Passo 5

Com esses dados, o esboço de uma única “ramificação” entre x=-pi e x=pi (ou entre x=pi+2kpi e x=pi+2(k+1)pi) é:
  • Assíntotas verticais em x=-pi,,pi.
  • Cruzamento em x=0 com h(0)=tan0=0.
  • Função estritamente crescente de -infty (quando xto-pi^+) até +infty (quando xtopi^-).
    E o padrão se repete a cada 2pi.

Resposta

Domínio: Rsetminuspi+2kpi : kinZ
Imagem: R
Gráfico: ramo fundamental entre -pi e pi passando por (0,0), com assíntotas verticais em x=-pi e x=pi, e repetição periódica de período 2pi.

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