Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O conteúdo é trigonometria: precisamos usar a definição de
, identificar onde ela está indefinida (domínio), ver que sua imagem é todo o conjunto dos reais e depois entender o período e as assíntotas verticais para esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, note que a tangente está indefinida sempre que o argumento é
Multiplicando por
, obtemos
Logo,
Passo 3
A imagem de
é todo o conjunto dos números reais, ou seja, à medida que
percorre um intervalo aberto entre duas assíntotas,
varia de
a
. Portanto,
Passo 4
O período de
é
em
. Como
, o período em
satisfaz
As assíntotas verticais ocorrem em
e a cada intervalo
a função sobe de
a
.
Passo 5
Com esses dados, o esboço de uma única “ramificação” entre
e
(ou entre
e
) é:
- Assíntotas verticais em
. - Cruzamento em
com . - Função estritamente crescente de
(quando ) até (quando ).
E o padrão se repete a cada.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: ramo fundamental entre e
passando por
, com assíntotas verticais em
e
, e repetição periódica de período
.
Imagem:
Gráfico: ramo fundamental entre