Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem (intervalo de valores possíveis) e esboçar o gráfico da função
O conteúdo usado envolve propriedades da função exponencial 2^x, da função valor absoluto e análise de limites e monotonicidade.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que 2^x está definido para todo real x e o valor absoluto também aceita qualquer entrada real. Logo o domínio é
R
Passo 3
Usamos a definição de valor absoluto:
|u|= u, & u>= 0, -,u, & u<0
Aqui u=2^x-1. Resolvemos a desigualdade
2^x-1>=0Longrightarrow 2^x>=1Longrightarrow x>=0
Portanto
f(x)= 2^x-1, & x>=0, 1-2^x, & x<0
Passo 4
Analisamos a imagem em cada ramo:
Para x>=0, 2^x cresce de 2^0=1 até infty, então
f(x)=2^x-1
varia de 0 (em x=0) até +infty. O intervalo desse ramo é [0,infty).
Para x<0, 2^x decresce de 1 (quando xto0^-) até 0 (quando xto-infty), então
f(x)=1-2^x
varia de 0 (quando xto0^-) até 1 (quando xto-infty), isto é, intervalo (0,1).
Unindo os dois, a imagem de f é
[0,infty)
Passo 5
Comportamento e forma do gráfico:
Para x<0, f(x)=1-2^x é crescente ou decrescente? A derivada é
f'(x)=-2^xln2<0,
então nesse ramo a curva decresce de yto1 (assíntota horizontal quando xto-infty) até yto0 em xto0^-.
Em x=0 há um mínimo f(0)=|1-1|=0, com “canto” (cusp) porque à direita o declive muda de sinal.
Para x>0, f(x)=2^x-1 é crescente, desde 0 em x=0 até infty conforme xto+infty.
Passo 6
Esboço do gráfico:
Ramo esquerdo (x<0): curva exponencial refletida e deslocada, aproximando-se de y=1 quando xto-infty e descendo até (0,0).
Ponto de mínimo: (0,0).
Ramo direito (x>=0): curva exponencial padrão deslocada para baixo em 1, começando em (0,0) e subindo sem limite.
Assíntota horizontal para xto-infty: y=1.
Resposta
Domínio: R
Imagem: [0,infty)
Gráfico: curva decrescente em x<0 de yto1 até (0,0), ponto de mínimo em (0,0), e curva crescente em x>0 subindo para +infty.