Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
G(x)=3 sen(x-pi2)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
G(x) = 3senl(x - tfracpi2r),
que determinemos o domínio, a imagem (conjunto de valores assumidos) e façamos um esboço do gráfico. O conteúdo é análise de funções trigonométricas e transformações de gráfico (amplitude, deslocamento).

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a função sen(t) está definida para todo tinR. Aqui o argumento é t = x - tfracpi2, que também assume qualquer valor real quando x percorre os reais. Logo
Domínio(G) = R í

Passo 3

Para a imagem, usamos que sen(t)in[-1,1] para todo t. Multiplicando por 3, obtemos
G(x) = 3sen(cdots)in[-3,3]
Portanto
Ima>=m(G) = [-3,3]

Passo 4

Para esboçar o gráfico, observamos as duas transformações sobre a curva base y=3sen x:
  1. Amplitude 3: oscila entre -3 e 3, período 2pi.
  2. Deslocamento horizontal para a direita de tfracpi2 (pois substituímos x por x-tfracpi2).
Assim, o gráfico de G(x) tem:
  • Zeros em x - tfracpi2 = kpi implies x = tfracpi2 + kpi.
  • Máximos +3 quando x - tfracpi2 = tfracpi2 + 2kpiimplies x = pi + 2kpi.
  • Mínimos -3 quando x - tfracpi2 = -tfracpi2 + 2kpiimplies x = 2kpi.
    Entre esses pontos, a curva segue a forma senoidal suavemente.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [-3,3]
Gráfico: sinóide de amplitude 3, período 2pi, deslocada tfracpi2 para a direita.

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