Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
h(x)=|ln (2|x|-1)|+1

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos o domínio, a imagem e esboçarmos o gráfico da função
h(x)=llvertln(2lvert xrvert-1)rrvert+1
Aqui vamos usar a condição de existência do logaritmo, as propriedades do valor absoluto e a ideia de simetria (função par) para o esboço.

Passo 2

Para que ln(2lvert xrvert-1) exista, é necessário
2lvert xrvert - 1 > 0 Longrightarrow lvert xrvert > tfrac12
Portanto o domínio de h é
(-infty,-tfrac12);cup;(tfrac12,infty)

Passo 3

No domínio, seja
t = ln(2lvert xrvert - 1)
Como 2lvert xrvert-1 varia em (0,infty), temos tinR. Logo
h(x)=lvert trvert + 1 ;>=; 1
O valor mínimo h=1 ocorre quando t=0, ou seja
ln(2lvert xrvert - 1)=0 Longrightarrow 2lvert xrvert - 1 =1 Longrightarrow lvert xrvert =1
Assim a imagem de h é
[1,infty)

Passo 4

Para esboçar o gráfico, note que h é par e que basta olhar o ramo x>tfrac12. Defina
u=2x-1, u>0,
então
h(x)=llvertln(u)rrvert+1
bul<=t Se 0<u<1 (isto é, tfrac12<x<1), então ln(u)<0 e
h(x)=-ln(u)+1,
que decresce e diverge para +infty quando uto0^+ (ou xtotfrac12^+).
bul<=t Se u>=1 (isto é, x>=1), então ln(u)>=0 e
h(x)=ln(u)+1,
que cresce e diverge para +infty quando utoinfty (ou xtoinfty).
Em u=1 (ou x=1) há o mínimo h=1.
Refletindo em x=0, obtemos dois ramos simétricos, ambos com forma de “V” suavizada pelo logaritmo.

Resposta

Domínio: ;(-infty,-tfrac12)cup(tfrac12,infty)
Imagem: ;[1,infty)
Gráfico: função par com mínimo h=1 em x=pm1, divergindo para +infty quando lvert xrverttotfrac12^+ ou lvert xrverttoinfty, e que decresce logaritimicamente em (tfrac12,1] e cresce logaritmicamente em [1,infty), refletido para x<0.

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