Para esboçar o gráfico, note que h é par e que basta olhar o ramo x>tfrac12. Defina
u=2x-1, u>0,
então
h(x)=llvertln(u)rrvert+1
bul<=t Se 0<u<1 (isto é, tfrac12<x<1), então ln(u)<0 e
h(x)=-ln(u)+1,
que decresce e diverge para +infty quando uto0^+ (ou xtotfrac12^+). bul<=t Se u>=1 (isto é, x>=1), então ln(u)>=0 e
h(x)=ln(u)+1,
que cresce e diverge para +infty quando utoinfty (ou xtoinfty).
Em u=1 (ou x=1) há o mínimo h=1.
Refletindo em x=0, obtemos dois ramos simétricos, ambos com forma de “V” suavizada pelo logaritmo.
Resposta
Domínio: ;(-infty,-tfrac12)cup(tfrac12,infty)
Imagem: ;[1,infty)
Gráfico: função par com mínimo h=1 em x=pm1, divergindo para +infty quando lvert xrverttotfrac12^+ ou lvert xrverttoinfty, e que decresce logaritimicamente em (tfrac12,1] e cresce logaritmicamente em [1,infty), refletido para x<0.