Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
F(x)=|sen(x2)-12|

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
F(x)=l|senl(tfracx2r)-tfrac12r|
O conteúdo envolve análise de domínio de funções elementares, cálculo de imagem usando propriedades da função seno e da transformação valor absoluto, e montagem do esboço gráfico reconhecendo períodos e pontos de quebra da expressão interna.

Passo 2

Para o domínio, note que não há restrição na expressão senl(tfracx2r): ela está definida para todo xinR.
Logo o domínio é
mathopDomF=R

Passo 3

Para a imagem, primeiro vemos onde varia g(x)=senl(tfracx2r)-tfrac12. Como
senl(tfracx2r)in[-1,1], então
g(x)in[-1-tfrac12,;1-tfrac12]=[-tfrac32,;tfrac12]
Aplicando o valor absoluto em g(x), o menor valor que lvert g(x)rvert atinge é 0 (quando sen(x/2)=1/2) e o maior é tfrac32 (quando sen(x/2)=-1).
Portanto
mathopImF=[0,tfrac32]

Passo 4

Para esboçar o gráfico, observe:
1. A função interna muda de sinal em
senl(tfracx2r)=tfrac12, i.e.\
tfracx2=tfracpi6+2pi koutfrac5pi6+2pi k
que dá
x=tfracpi3+4pi ke x=tfrac5pi3+4pi k
2. Entre esses zeros, quando sen(x/2)-tfrac12>=0, temos
F(x)=senl(tfracx2r)-tfrac12,
e quando sen(x/2)-tfrac12<0, reflete-se para cima:
F(x)=tfrac12-senl(tfracx2r)
3. O período de sen(x/2) é 4pi, então F repete seu padrão gráfico a cada 4pi.
4. Pontos notáveis num período [,tfracpi3,;tfrac5pi3,]:
  • Em x=tfracpi3 e x=tfrac5pi3 temos F=0.
  • Em x=pi vale F(pi)=|sen(pi/2)-1/2|=1/2.
  • Em x=3pi (ou x=-pi) vale F=3/2, máximo.
Desenhando esses pontos e desenhando arcos de seno recortados pelo valor zero, obtemos o esboço: uma onda “segurada” pelo valor absoluto, com cristas de altura 3/2, vales em zero, e período 4pi.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,tfrac32]
Gráfico: periódica de período 4pi, zeros em x=tfracpi3+4pi k e x=tfrac5pi3+4pi k, máximo 3/2 em x=(4k+3)pi, vales intermédios formando arcos de seno positivos ou refletidos conforme explicado acima.

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