Esclarecer o sentido exato das anotações convencionais:
lim x infty f(x)=infty.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o sentido exato da notação
limxtoinftyf(x)=infty
Estamos em Análise Real, mais precisamente na definição de limite de uma função quando a variável x tende ao infinito e o valor da função diverge para o infinito. Para resolver, vamos primeiro entender intuitivamente o que isso quer dizer e depois dar a definição formal com quantificadores.

Passo 2

Intuitivamente, dizer que limxtoinftyf(x)=infty significa que, à medida que x cresce sem limite, f(x) também cresce sem limite. Em outras palavras, não importa o quão grande você escolha um número M; se x for suficientemente grande, f(x) ficará maior que M.

Passo 3

A definição formal utiliza quantificadores em termos de M e N. Dizemos que
limxtoinftyf(x)=infty
se, e somente se, valem as seguintes condições:
1. Para todo número real M>0,
2. existe um número real N (dependente de M)
3. tal que, para todo x>N,
4. temos f(x)>M.
Em notação única:
forall M>0;exists NinR;tal que;l(x>Nimplies f(x)>Mr)

Passo 4

Na prática, para provar que limxtoinftyf(x)=infty você recebe um M>0, constrói um N em função de M e mostra que sempre que x>N ocorre f(x)>M. Note que aqui xtoinfty refere-se à variável independente crescendo sem limite e f(x)toinfty ao valor da função crescendo sem limite.

Resposta

limxtoinftyf(x)=infty Long<=ftrightarrow forall M>0,;exists NinR;tal que;forall x>N,;f(x)>M

Exercícios relacionados