Exercício 2 Calcule
integral-1^0 x^3 raizx^4+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral definida de -1 a 0 da função x^3 raizx^4 + 2 em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por substituição. Vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a integral e resolvê-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, olhe para a parte dentro da raiz: x^4 + 2. Vamos fazer uma substituição para simplificar isso. Vamos definir:
u = x^4 + 2
Isso significa que u é uma função de x e vai nos ajudar a reescrever a integral de uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx na integral. Derivando u:
dudx = 4x^3
Então, podemos reescrever x^3 dx em termos de du:
x^3 dx = du4

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral-1^0 x^3 raizx^4 + 2 , dx = integralu(-1)^u(0) raizu cdot du4
Aqui, substituímos os limites de integração também. Vamos calcular u(-1) e u(0).

Passo 5

Calculando u nos limites de integração:
  • Para x = -1:
u(-1) = (-1)^4 + 2 = 1 + 2 = 3
  • Para x = 0:
u(0) = 0^4 + 2 = 0 + 2 = 2
Então, nossa nova integral fica:
14 integral3^2 raizu , du

Passo 6

Note que os limites de integração estão de cima para baixo (de 3 a 2). Podemos inverter os limites e trocar o sinal da integral:
14 integral3^2 raizu , du = -14 integral2^3 raizu , du

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral integral raizu , du. Lembre-se que raizu = u^1/2, e a integral de u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2

Passo 8

Voltando à nossa integral com os limites:
-14 [ 23 u^3/2 |2^3 ] = -14 cdot 23 (3^3/2 - 2^3/2)
Simplificando os coeficientes:
-16 (3^3/2 - 2^3/2)

Passo 9

Calculando as potências:
  • 3^3/2 = 3 raiz3
  • 2^3/2 = 2 raiz2
Substituindo de volta:
-16 (3 raiz3 - 2 raiz2)
Distribuindo o -16:
-3 raiz36 + 2 raiz26 = -raiz32 + raiz23

Resposta

boxed,raiz23 - raiz32,

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