Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=raizx, y=13 x, 0 <= x <= 16

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
y=raizx, y=tfrac13x
no intervalo 0<= x<=16, e em seguida calcular sua área.
O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre duas curvas via integração. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção das curvas.
  2. Verificar qual curva está acima da outra em cada subintervalo.
  3. Montar e calcular a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos
raizx=tfrac13x
Fazendo t=raizx, temos t=tfrac13t^2, ou seja
t^2-3t=0Longrightarrow t=0 ou t=3
Logo x=t^2 x=0 e x=9, com y=0 e y=3.

Passo 3

Precisamos saber qual curva é maior em cada trecho de x.
  • Para 0<= x<9, teste x=4: raiz4=2 e 4/3approx1,33. Logo raizx está acima de x/3.
  • Para 9<x<=16, teste x=16: raiz16=4 e 16/3approx5,33. Agora x/3 está acima de raizx.

Passo 4

A área A é dada pela soma das duas integrais onde subtraímos a função menor da maior:
A=integral0^9l(raizx-tfracx3r),dx ;+; integral9^16l(tfracx3-raizxr),dx

Passo 5

Calculemos cada integral:
  1. integral0^9raizx,dx =l[tfrac23x^3/2r]0^9 =tfrac23cdot27=18
  2. integral0^9tfracx3,dx =l[tfracx^26r]0^9 =tfrac816=13,5
Logo a primeira parte é 18-13,5=4,5.
  1. integral9^16tfracx3,dx =l[tfracx^26r]9^16 =tfrac256-816=tfrac1756approx29,1667
  2. integral9^16raizx,dx =l[tfrac23x^3/2r]9^16 =tfrac23(64-27)=tfrac743approx24,6667
Então a segunda parte é 29,1667-24,6667=4,5.

Passo 6

Somando as duas partes da área:
A=4,5+4,5=9

Resposta

A área da região é ,9.

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