Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
no intervalo
, e em seguida calcular sua área.
O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre duas curvas via integração. Vamos precisar:
O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre duas curvas via integração. Vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção das curvas.
- Verificar qual curva está acima da outra em cada subintervalo.
- Montar e calcular a integral da diferença entre as funções.
Passo 2
Para achar as interseções, igualamos
Fazendo
, temos
, ou seja
Logo
dá
e
, com
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva é maior em cada trecho de
.
- Para
, teste : e . Logo está acima de . - Para
, teste : e . Agora está acima de .
Passo 4
A área
é dada pela soma das duas integrais onde subtraímos a função menor da maior:
Passo 5
Calculemos cada integral:
Logo a primeira parte é
.
Então a segunda parte é
.
Passo 6
Somando as duas partes da área:
Resposta
A área da região é
.