Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função f(x) que é definida de forma diferente em dois intervalos. Para isso, vamos precisar entender sobre funções, seus domínios (os valores de x que a função aceita) e imagens (os valores de y que a função pode produzir). Além disso, vamos precisar desenhar gráficos de parábolas, já que as expressões são de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de [x) para os quais a função está definida. Olhando para o enunciado:
A função está definida para e . Juntando todos esses intervalos, vemos que a função está definida para todos os números reais. Então, o domínio é .
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores de y . Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
Para x <= -2 ou x >= 4 :
f(x) = x^2 - 2x - 8
Essa é uma parábola voltada para cima (porque o coeficiente de x^2 é positivo). O vértice dessa parábola nos dará o valor mínimo de y .
Calculando o vértice:
xv = -b2a = --22 times 1 = 1
Como 1 não está no intervalo x <= -2 nem x >= 4 , os menores valores ocorrem nos extremos desses intervalos.
Vamos calcular f(-2) e f(4) :
f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0
f(4) = (4)^2 - 2(4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0
Como a parábola sobe para ambos os lados, a imagem nessa parte é y >= 0 .
Para -2 < x < 4 :
f(x) = -x^2 + 2x + 8
Essa é uma parábola voltada para baixo (porque o coeficiente de x^2 é negativo). O vértice nos dará o valor máximo de y .
Calculando o vértice:
xv = -b2a = -22 times (-1) = 1
f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9
Então, a imagem nessa parte é y <= 9 .
Juntando tudo, a imagem total da função é y >= 0 e y <= 9 , ou seja, 0 <= y <= 9 .
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Temos duas parábolas:
Para x <= -2 e x >= 4 : Uma parábola voltada para cima, que toca o eixo y no ponto (x, y) = (-2, 0) e (4, 0) . Ela se estende para cima a partir desses pontos.
Para -2 < x < 4 : Uma parábola voltada para baixo com vértice no ponto (1, 9) . Ela começa no ponto (-2, 0) e vai até (4, 0) .
O gráfico fica assim: duas “metades” de parábolas unidas nos pontos x = -2 e x = 4 , formando uma espécie de “M” invertido, com o ponto mais alto em (1, 9) .
Resposta
Domínio: R (todos os números reais)
Imagem: 0 <= y <= 9
Gráfico: Consiste em duas parábolas. Para x <= -2 e x >= 4 , a parábola é voltada para cima com interceptos em x = -2 e x = 4 . Para -2 < x < 4 , a parábola é voltada para baixo com vértice no ponto (1, 9) , conectando os pontos (-2, 0) e (4, 0) .