Exercício 2 Calcule
integral x^2 raiz[3]2 x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral x^2raiz[3]2x-1,dx
O conteúdo aqui é integração de uma função composta, e vamos usar a técnica de substituição para transformar em uma integral de potências.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x - 1 Longrightarrow du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Além disso, escrevemos x em função de u:
x = u+12 Longrightarrow x^2 = (u+1)^24

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
x^2raiz[3]2x-1,dx = (u+1)^24,u^tfrac13,du2 = 18(u+1)^2u^tfrac13,du
Expandindo (u+1)^2=u^2+2u+1 e distribuindo u^1/3, fica
18l(u^2+1/3+2u^1+1/3+u^0+1/3r) = 18l(u^7/3+2u^4/3+u^1/3r)

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral u^7/3,du = u^10/310/3=310u^10/3, integral 2u^4/3,du = 2cdotu^7/37/3=67u^7/3, integral u^1/3,du = u^4/34/3=34u^4/3
Multiplicando pelo fator 1/8, a antiderivada geral é
18l(310u^10/3+67u^7/3+34u^4/3r) = 380u^10/3+328u^7/3+332u^4/3+C

Passo 5

Voltando à variável x via u=2x-1, obtemos a primitiva
380(2x-1)^10/3+328(2x-1)^7/3+332(2x-1)^4/3+C

Resposta

integral x^2raiz[3]2x-1,dx =380(2x-1)^10/3+328(2x-1)^7/3+332(2x-1)^4/3+C

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