Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o termo geral da sequência
. Além disso, precisamos dizer se a sequência é limitada e se ela é crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de sequências numéricas e análise de comportamento delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o termo geral de uma sequência. O termo geral, geralmente representado por
, nos dá uma fórmula para encontrar qualquer termo da sequência, dependendo da posição
.
Passo 3
Observando a sequência dada:
, percebemos que cada termo é o inverso do número natural da posição. Ou seja, o primeiro termo é
, o segundo é
, o terceiro é
, e assim por diante.
Passo 4
Então, podemos escrever o termo geral da sequência como:
onde
é a posição do termo na sequência e começa em 1.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior (máximo) e outro como limite inferior (mínimo) para todos os seus termos.
Passo 6
Na nossa sequência, o primeiro termo é
e os demais termos são menores que
. Além disso, todos os termos são positivos e se aproximam de
conforme
aumenta. Portanto, a sequência está limitada entre
e
.
Passo 7
Por fim, vamos determinar a monotonia da sequência. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior e decrescente se cada termo é menor que o anterior.
Passo 8
Vendo a sequência
, percebemos que cada termo é menor que o anterior. Portanto, a sequência é decrescente.
Resposta
O termo geral da sequência é
. A sequência é limitada entre
e
e é monotonicamente decrescente.