Exercício 2 Calcule
integral x^2(x+5)^8 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2(x+5)^8,dx
O conteúdo é integração por substituição simples, aproveitando que a parte (x+5) elevada a uma potência alta sugere definir u=x+5.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x+5 Longrightarrow du = dx e x = u-5
Assim,
x^2 = (u-5)^2 = u^2 - 10u + 25
e a integral vira
integral x^2(x+5)^8,dx = integral (u^2-10u+25),u^8,du

Passo 3

Distribuindo u^8 e aplicando a regra do poder,
(u^2-10u+25),u^8 = u^10 - 10u^9 + 25u^8
Logo,
integral (u^10 - 10u^9 + 25u^8),du = integral u^10,du ;-; 10integral u^9,du ;+; 25integral u^8,du

Passo 4

Integrando termo a termo pela regra integral u^n,du = u^n+1/(n+1),
integral u^10,du = u^1111, integral u^9,du = u^1010, integral u^8,du = u^99
Portanto
integral (u^10 - 10u^9 + 25u^8),du = u^1111 - 10cdotu^1010 + 25cdotu^99 + C = u^1111 - u^10 + 25,u^99 + C

Passo 5

Voltando à variável original x com u = x+5, obtemos
integral x^2(x+5)^8,dx = (x+5)^1111 ;-; (x+5)^10 ;+; 25,(x+5)^99 + C

Resposta

boxed integral x^2(x+5)^8,dx = (x+5)^1111 - (x+5)^10 + 25,(x+5)^99 + C

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