Determine o domínio, a imagem e o esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:
f(x)=rllx+5 & se & x<-5 raiz25-x^2 & se & -5 <= x <= 5 x-5 & se & x>5

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x+5, & x< -5, raiz25 - x^2, & -5 <= x <= 5, x-5, & x>5,
e pede o domínio, a imagem e um esboço do gráfico. Aqui vamos usar conhecimento de domínio da raiz quadrada (exigir que o radicando seja não negativo), análise de comportamento de retas e da semicircunferência superior de raio 5.

Passo 2

Para encontrar o domínio, observamos cada ramo:
– Em x< -5 e em x>5 não há restrição além das próprias desigualdades.
– Em -5<= x<=5 precisamos ter
25 - x^2 >= 0,
o que é verdade exatamente para -5<= x<=5.
Portanto o domínio é
(-infty,-5);cup;[-5,5];cup;(5,infty);=;R

Passo 3

Para achar a imagem, estudamos cada ramo:
– Se x< -5, então f(x)=x+5 varia de -infty (quando xto-infty) até 0 (quando xto-5^-), sem alcançar 0. Logo a imagem desse ramo é (-infty,0).
– Se -5<= x<=5, então f(x)=raiz25-x^2 varia de raiz25-(-5)^2=0 até raiz25-0^2=5. Como ambos os extremos ocorrem em valores de x permitidos, a imagem desse ramo é [0,5].
– Se x>5, então f(x)=x-5 varia de 0 (quando xto5^+, sem alcançar) até +infty (quando xto+infty). Logo a imagem é (0,infty).
Unindo as três imagens:
(-infty,0);cup;[0,5];cup;(0,infty);=;(-infty,infty);=;R

Passo 4

O esboço do gráfico tem três peças que se unem em x=-5 e x=5:
  1. Para x< -5, é a reta de inclinação 1 que passa por (-5,0), mas com ponto aberto em (-5,0).
  2. Para -5<= x<=5, é a parte superior da circunferência de raio 5 centrada em (0,0), com os pontos (-5,0) e (5,0) fechados.
  3. Para x>5, é a reta de inclinação 1 que passa por (5,0), com ponto aberto em (5,0), estendendo-se para cima.
Em conjunto forma um “chapéu” semicircular entre duas retas de inclinação 1.

Resposta

Domínio: R
Imagem: R
Gráfico: reta y=x+5 para x< -5 (ponto aberto em (-5,0)), semicircunferência y=raiz25-x^2 para -5<= x<=5, reta y=x-5 para x>5 (ponto aberto em (5,0)).

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