Determine domínio e imagem de
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}
e pede duas coisas: determinar o domínio (todos os x reais para os quais f(x) está definida) e a imagem (conjunto de valores reais que f(x) assume). Vou assumir que se trata de função de variável real para valores reais, isto é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.

Passo 2

Verificar onde a expressão está bem definida (domínio). A única possível restrição vem do denominador x^{2}+1: não podemos ter denominador zero. Então precisamos checar a equação
x^{2}+1=0.
Resolver isso deixa
x^{2}=-1,
o que não tem solução real (nenhum quadrado real é negativo). Portanto o denominador nunca é zero para x\in\mathbb{R}. Logo a função está definida para todo número real:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Agora analisar sinais e limites para entender a imagem. Note que para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^{2}+1\ge 1.
Como o denominador é sempre maior ou igual a 1 e positivo, o valor de f(x) é sempre positivo e no máximo 1. Formalmente,
x^{2}+1\ge 1\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^{2}+1}\le 1,
e também
\frac{1}{x^{2}+1}>0.
Assim já temos a inclusão 0< f(x)\le 1 para todo x.

Passo 4

Mostrar que o valor 1 é realmente atingido e que 0 não é atingido, apenas é um limite. Calcular o valor em x=0:
f(0)=\frac{1}{0^{2}+1}=\frac{1}{1}=1.
Portanto o máximo 1 pertence à imagem. Para o comportamento quando x cresce em módulo, calcule o limite
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}+1}=0.
(Isto pode ser visto dividindo numerador e denominador por x^{2}: \dfrac{1/x^{2}}{1+1/x^{2}}\to 0.) Assim 0 é o ínfimo da imagem, mas não é atingido por nenhum x real (pois f(x)>0 sempre).

Passo 5

Para mostrar que todo valor entre 0 (excluído) e 1 (incluído) é realmente assumido por algum x, resolvemos a equação y=f(x) em função de y. Partindo de
y=\frac{1}{x^{2}+1},
isolamos x^{2}:
x^{2}=\frac{1}{y}-1=\frac{1-y}{y}.
Para que exista x\in\mathbb{R} precisamos de \dfrac{1-y}{y}\ge 0. Isso ocorre exatamente quando y>0 e y\le 1, ou seja y\in(0,1]. Além disso, para cada y\in(0,1] obtemos soluções reais
x=\pm\sqrt{\frac{1-y}{y}},
mostrando que esses y pertencem à imagem. Portanto a imagem é precisamente o intervalo (0,1].

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,1]

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