Determine domínio e imagem de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: determinar o domínio (todos os
reais para os quais
está definida) e a imagem (conjunto de valores reais que
assume). Vou assumir que se trata de função de variável real para valores reais, isto é
.
Passo 2
Verificar onde a expressão está bem definida (domínio). A única possível restrição vem do denominador
: não podemos ter denominador zero. Então precisamos checar a equação
Resolver isso deixa
o que não tem solução real (nenhum quadrado real é negativo). Portanto o denominador nunca é zero para
. Logo a função está definida para todo número real:
Passo 3
Agora analisar sinais e limites para entender a imagem. Note que para todo
vale
Como o denominador é sempre maior ou igual a
e positivo, o valor de
é sempre positivo e no máximo
. Formalmente,
e também
Assim já temos a inclusão
para todo
.
Passo 4
Mostrar que o valor
é realmente atingido e que
não é atingido, apenas é um limite. Calcular o valor em
:
Portanto o máximo
pertence à imagem. Para o comportamento quando
cresce em módulo, calcule o limite
(Isto pode ser visto dividindo numerador e denominador por
:
.) Assim
é o ínfimo da imagem, mas não é atingido por nenhum
real (pois
sempre).
Passo 5
Para mostrar que todo valor entre
(excluído) e
(incluído) é realmente assumido por algum
, resolvemos a equação
em função de
. Partindo de
isolamos
:
Para que exista
precisamos de
. Isso ocorre exatamente quando
e
, ou seja
. Além disso, para cada
obtemos soluções reais
mostrando que esses
pertencem à imagem. Portanto a imagem é precisamente o intervalo
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: