Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) resolver a inequação
(ou seja, encontrar todos os
reais que satisfazem a desigualdade) e (ii) fazer um esboço do gráfico da função
.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da função quadrática são ,
e
. Nada mais é necessário.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da função quadrática são
Passo 2
Vamos reescrever a expressão do polinômio completando o quadrado — isso facilita muito para entender sinais e vértice. Começo com
.
Para completar o quadrado, pegue o coeficiente de
, que é
, divida por
e eleva ao quadrado:
Então podemos escrever
(Observação: esse é um caso clássico de trinômio quadrado perfeito.)
Passo 3
Agora substituímos na inequação:
Aqui usamos um fato elementar: qualquer quadrado de número real é sempre maior ou igual a zero. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
,
, e
. Portanto
nunca é negativo para nenhum
.
A desigualdade
é verdadeira para todo
real. A igualdade
acontece apenas quando
, isto é, em
.
Passo 4
Para reforçar a interpretação geométrica, calculemos o discriminante da quadrática original: com
,
,
,
Um discriminante zero significa que a parábola tem uma raiz real dupla (ou seja, toca o eixo
em um único ponto). Essa raiz é
confirmando que o único ponto em que
é
.
Passo 5
Descrição do esboço do gráfico da função
:
- A parábola abre para cima porque
. - O vértice está em
(obtido pelo completar o quadrado ou pela fórmula do vértice). - O eixo de simetria é a reta
. - A parábola toca o eixo
em e está estritamente acima do eixo para .
Um esboço mental/ASCII rápido (simples) — o ponto marcado é o vértice em
:
y
^
| /\
| / \
|_____/__> x
3
^
| /\
| / \
|_____/__> x
3
(na figura o vértice está em
e a parábola sobe para cima para
e
.)
Resposta
Solução da inequação:
Esboço do gráfico: parábola que abre para cima com vértice em , tangente ao eixo
em
e
para todo
.
Esboço do gráfico: parábola que abre para cima com vértice em