Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
x^{2}-6 x+9 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) resolver a inequação x^{2}-6x+9 \geq 0 (ou seja, encontrar todos os x reais que satisfazem a desigualdade) e (ii) fazer um esboço do gráfico da função y=x^{2}-6x+9.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da função quadrática são a=1, b=-6 e c=9. Nada mais é necessário.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão do polinômio completando o quadrado — isso facilita muito para entender sinais e vértice. Começo com \,x^{2}-6x+9.
Para completar o quadrado, pegue o coeficiente de x, que é -6, divida por 2 e eleva ao quadrado:
\left(\frac{-6}{2}\right)^{2}=(-3)^{2}=9.
Então podemos escrever
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
(Observação: esse é um caso clássico de trinômio quadrado perfeito.)

Passo 3

Agora substituímos na inequação:
(x-3)^{2}\geq 0.
Aqui usamos um fato elementar: qualquer quadrado de número real é sempre maior ou igual a zero. Exemplos rápidos para fixar a ideia: (2)^{2}=4\geq0, (-1)^{2}=1\geq0, e (0)^{2}=0. Portanto (x-3)^{2} nunca é negativo para nenhum x\in\mathbb{R}.
A desigualdade (x-3)^{2}\geq0 é verdadeira para todo x real. A igualdade (x-3)^{2}=0 acontece apenas quando x-3=0, isto é, em x=3.

Passo 4

Para reforçar a interpretação geométrica, calculemos o discriminante da quadrática original: com a=1, b=-6, c=9,
\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot9=36-36=0.
Um discriminante zero significa que a parábola tem uma raiz real dupla (ou seja, toca o eixo x em um único ponto). Essa raiz é
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3,
confirmando que o único ponto em que y=0 é x=3.

Passo 5

Descrição do esboço do gráfico da função y=x^{2}-6x+9:
  • A parábola abre para cima porque a=1>0.
  • O vértice está em \left(3,0\right) (obtido pelo completar o quadrado ou pela fórmula do vértice).
  • O eixo de simetria é a reta x=3.
  • A parábola toca o eixo x em \left(3,0\right) e está estritamente acima do eixo x para x\neq3.
Um esboço mental/ASCII rápido (simples) — o ponto marcado é o vértice em x=3:
y
^
| /\
| / \
|_____/__> x
3
(na figura o vértice está em (3,0) e a parábola sobe para cima para x<3 e x>3.)

Resposta

Solução da inequação: \mathbb{R}
Esboço do gráfico: parábola que abre para cima com vértice em (3,0), tangente ao eixo x em (3,0) e y>0 para todo x\neq3.

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