Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e fazer o esboço do gráfico da função envolvida. Informações dadas: a expressão é um polinômio quadrático (parábola) com coeficiente quadrático negativo. A pergunta é: para quais valores de
essa expressão é negativa? Também é pedido desenhar (esboçar) o gráfico que ajuda a visualizar onde a parábola fica abaixo do eixo
.
Passo 2
Para trabalhar melhor com frações, multiplico a inequação por
(um número negativo que cancela os denominadores
). Lembre-se: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. Fazendo a conta:
Agora calculo cada termo:
Logo a inequação transformada é
Passo 3
Agora analisamos o sinal da quadrática
Para isso uso o discriminante
da equação quadrática padrão
, que é dado por
. Aqui
,
,
. Então
Como
, a quadrática
não tem raízes reais (as raízes seriam complexas). Quando
(aqui
) e
, a parábola associada fica inteiramente acima do eixo
, ou seja,
para todo
. Podemos conferir rapidamente que
, consistente com isso.
Passo 4
Voltando à relação com a inequação original: multiplicamos por
e obtivemos a equivalência
Como mostramos que
vale para todo
, concluímos que a inequação original é satisfeita por todos os reais. Em palavras: a expressão original é sempre negativa, para qualquer
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, identifico a forma da parábola e o seu vértice. Vou trabalhar com a função original
O coeficiente quadrático é
, então a parábola abre para baixo (concavidade para baixo). O abscissa do vértice é dada por
onde aqui
e
. Calculando:
Agora a ordenada do vértice
. Substituo
:
Calculo passo a passo:
Portanto o vértice é
. Note que
, isto é, o ponto mais alto da parábola já está abaixo do eixo
; por isso não há intersecções reais com o eixo
.
Passo 6
Como guia para desenhar o esboço:
- A parábola abre para baixo (porque
). - O vértice está em
, ligeiramente abaixo do eixo . - Não há raízes reais (discriminante negativo), logo não corta o eixo
: toda a curva fica abaixo do eixo . - Pontos adicionais:
e (ambos negativos) ajudam a posicionar a curva.
Desenho sugerido: desenhe os eixos, marque os pontos, e o vértice . Trace uma parábola suave passando por esses pontos, com topo no vértice e inteira abaixo do eixo .