Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
-\frac{1}{3} x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} < 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}<0
e fazer o esboço do gráfico da função envolvida. Informações dadas: a expressão é um polinômio quadrático (parábola) com coeficiente quadrático negativo. A pergunta é: para quais valores de x essa expressão é negativa? Também é pedido desenhar (esboçar) o gráfico que ajuda a visualizar onde a parábola fica abaixo do eixo x.

Passo 2

Para trabalhar melhor com frações, multiplico a inequação por -12 (um número negativo que cancela os denominadores 3,2,4). Lembre-se: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. Fazendo a conta:
-12\left(-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right) > 0.
Agora calculo cada termo:
-12\cdot\left(-\frac{1}{3}x^{2}\right)=4x^{2},\qquad -12\cdot\left(\frac{1}{2}x\right)=-6x,\qquad -12\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=3.
Logo a inequação transformada é
4x^{2}-6x+3>0.

Passo 3

Agora analisamos o sinal da quadrática
g(x)=4x^{2}-6x+3.
Para isso uso o discriminante \Delta da equação quadrática padrão ax^{2}+bx+c, que é dado por \Delta=b^{2}-4ac. Aqui a=4, b=-6, c=3. Então
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot 4\cdot 3 = 36-48 = -12.
Como \Delta<0, a quadrática g(x) não tem raízes reais (as raízes seriam complexas). Quando a>0 (aqui a=4>0) e \Delta<0, a parábola associada fica inteiramente acima do eixo x, ou seja, g(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Podemos conferir rapidamente que g(0)=3>0, consistente com isso.

Passo 4

Voltando à relação com a inequação original: multiplicamos por -12 e obtivemos a equivalência
-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^{2}-6x+3>0.
Como mostramos que 4x^{2}-6x+3>0 vale para todo x\in\mathbb{R}, concluímos que a inequação original é satisfeita por todos os reais. Em palavras: a expressão original é sempre negativa, para qualquer x.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, identifico a forma da parábola e o seu vértice. Vou trabalhar com a função original
f(x)=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}.
O coeficiente quadrático é a=-\tfrac{1}{3}<0, então a parábola abre para baixo (concavidade para baixo). O abscissa do vértice é dada por
x_{v}=-\frac{b}{2a},
onde aqui b=\tfrac{1}{2} e a=-\tfrac{1}{3}. Calculando:
x_{v}=-\frac{\tfrac{1}{2}}{2\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)} = -\frac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{2}{3}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}.
Agora a ordenada do vértice y_v=f(x_v). Substituo x=\tfrac{3}{4}:
f\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=-\frac{1}{3}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\tfrac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}.
Calculo passo a passo:
\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=\tfrac{9}{16},\quad -\frac{1}{3}\cdot\tfrac{9}{16}=-\tfrac{9}{48}=-\tfrac{3}{16},
\frac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{8},\quad \tfrac{3}{8}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{8}-\tfrac{2}{8}=\tfrac{1}{8},
f\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=\tfrac{1}{8}-\tfrac{3}{16}=-\tfrac{1}{16}.
Portanto o vértice é \left(\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{16}\right). Note que y_v<0, isto é, o ponto mais alto da parábola já está abaixo do eixo x; por isso não há intersecções reais com o eixo x.

Passo 6

Como guia para desenhar o esboço:
  • A parábola abre para baixo (porque a=-\tfrac{1}{3}<0).
  • O vértice está em \left(\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{16}\right), ligeiramente abaixo do eixo x.
  • Não há raízes reais (discriminante negativo), logo não corta o eixo x: toda a curva fica abaixo do eixo x.
  • Pontos adicionais: f(0)=-\tfrac{1}{4} e f(1)=-\tfrac{1}{12} (ambos negativos) ajudam a posicionar a curva.
    Desenho sugerido: desenhe os eixos, marque os pontos (0,-\tfrac{1}{4}), (1,-\tfrac{1}{12}) e o vértice (\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{16}). Trace uma parábola suave passando por esses pontos, com topo no vértice e inteira abaixo do eixo x.

Resposta

\mathbb{R}

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