Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
Passo 1
O enunciado pede domínio, imagem, gráfico e injetividade da função
. O conteúdo aqui é análise de funções quadráticas: vamos usar o formato padrão
, determinar o vértice para achar o valor extremo (imagem), encontrar interceptos para esboçar o gráfico e estudar a monotonicidade via derivada para checar injetividade.
Passo 2
Como
é um polinômio de grau 2, não há restrição de valores de
. Logo,
Passo 3
Para obter a imagem, calculamos o vértice da parábola. O eixo de simetria está em
Substituindo em
, o valor mínimo (pois a concavidade é para cima) é
Portanto,
Passo 4
Para esboçar o gráfico:
- Interceptos com o eixo
vêm de
ou seja
e
.
2. Intercepto com o eixo é
.
3. Vértice em .
4. A parábola abre para cima (pois ).
2. Intercepto com o eixo
3. Vértice em
4. A parábola abre para cima (pois
Passo 5
A derivada é
que muda de sinal em
. Assim,
decresce em
e cresce em
, não sendo monotônica em todo
. Logo,
não é injetora em
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: parábola com concavidade para cima, vértice em , interceptos em
,
e
.
Injetora: não é injetora.
Imagem:
Gráfico: parábola com concavidade para cima, vértice em
Injetora: não é injetora.