Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
f(x)=x^2-x-20

Passo 1

O enunciado pede domínio, imagem, gráfico e injetividade da função f(x)=x^2 - x - 20. O conteúdo aqui é análise de funções quadráticas: vamos usar o formato padrão ax^2+bx+c, determinar o vértice para achar o valor extremo (imagem), encontrar interceptos para esboçar o gráfico e estudar a monotonicidade via derivada para checar injetividade.

Passo 2

Como f é um polinômio de grau 2, não há restrição de valores de x. Logo,
Dom(f)=R

Passo 3

Para obter a imagem, calculamos o vértice da parábola. O eixo de simetria está em
xv = -b2a = --12cdot1 = 12
Substituindo em f, o valor mínimo (pois a concavidade é para cima) é
yv = fl(tfrac12r) = l(tfrac12r)^2 - tfrac12 - 20 = tfrac14 - tfrac12 - 20 = -tfrac814
Portanto,
Im(f) = l[-tfrac814,,inftyr)

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
  1. Interceptos com o eixo x vêm de
x^2 - x - 20 = 0 ;Longrightarrow; x = 1 pm raiz1+802 = 1pm92,
ou seja x=-4 e x=5.
2. Intercepto com o eixo y é f(0)=-20.
3. Vértice em l(tfrac12,,-tfrac814r).
4. A parábola abre para cima (pois a=1>0).

Passo 5

A derivada é
f'(x) = 2x - 1,
que muda de sinal em x=tfrac12. Assim, f decresce em (-infty,tfrac12) e cresce em (tfrac12,infty), não sendo monotônica em todo R. Logo, f não é injetora em R.

Resposta

Domínio: R
Imagem: l[-tfrac814,,inftyr)
Gráfico: parábola com concavidade para cima, vértice em l(tfrac12,-tfrac814r), interceptos em (-4,0), (5,0) e (0,-20).
Injetora: não é injetora.

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