Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
y=|x|+|x-1|

Passo 1

O enunciado pede determinar domínio, imagem, esboçar o gráfico e verificar se a função
y = |x| + |x-1|
é injetora. O conteúdo envolve funções definidas por valor absoluto e gráficos piecewise lineares.

Passo 2

Como não há denominadores nem radicais, e valor absoluto está definido em todo real, o domínio é
R

Passo 3

Identificamos os pontos em que cada módulo muda de sinal, ou seja, x=0 e x=1, e escrevemos em três ramos:
x<0: & y=-x + (1-x)=1-2x, 0<= x<=1: & y=x + (1-x)=1, x>1: & y=x + (x-1)=2x-1

Passo 4

Analisando cada ramo para a imagem:
  • Em x<0, y=1-2x tende a +infty quando xto-infty e vale 1 em xto0^-.
  • Em 0<= x<=1, y=1 é constante.
  • Em x>1, y=2x-1 vale 1 em xto1^+ e tende a +infty quando xto+infty.
    Logo a imagem é
[1,+infty)

Passo 5

O gráfico é formado por três segmentos lineares unidos continuamente: reta de inclinação -2 para x<0 passando por (0,1); segmento horizontal em y=1 para 0<= x<=1; e reta de inclinação 2 para x>1 passando por (1,1).

Passo 6

Como todos os x em [0,1] produzem y=1, há múltiplos x com mesma imagem, logo a função não é injetora.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [1,+infty)
Gráfico: três segmentos lineares (ver passo 5)
Injetora: não

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