Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
Passo 1
O enunciado pede determinar domínio, imagem, esboçar o gráfico e verificar se a função
é injetora. O conteúdo envolve funções definidas por valor absoluto e gráficos piecewise lineares.
Passo 2
Como não há denominadores nem radicais, e valor absoluto está definido em todo real, o domínio é
Passo 3
Identificamos os pontos em que cada módulo muda de sinal, ou seja, e , e escrevemos em três ramos:
Passo 4
Analisando cada ramo para a imagem:
Em x<0, y=1-2x tende a +infty quando xto-infty e vale 1 em xto0^-.
Em 0<= x<=1, y=1 é constante.
Em x>1, y=2x-1 vale 1 em xto1^+ e tende a +infty quando xto+infty.
Logo a imagem é
[1,+infty)
Passo 5
O gráfico é formado por três segmentos lineares unidos continuamente: reta de inclinação -2 para x<0 passando por (0,1); segmento horizontal em y=1 para 0<= x<=1; e reta de inclinação 2 para x>1 passando por (1,1).
Passo 6
Como todos os x em [0,1] produzem y=1, há múltiplos x com mesma imagem, logo a função não é injetora.
Resposta
Domínio: R
Imagem: [1,+infty)
Gráfico: três segmentos lineares (ver passo 5)
Injetora: não