Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = y^2 * ln(1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender para quais valores de e a função está definida (domínio) e quais são os possíveis resultados que a função pode gerar (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os pares para os quais a função está bem definida.
A função é composta por duas partes: e .
  1. Analisando :
    • O termo é o quadrado de , e qualquer número real ao quadrado é definido. Ou seja, para qualquer valor real de , existe.
  2. Analisando :
    • A função logaritmo natural, , está definida quando .
    • Aqui, .
    • Como é sempre não negativo (ou seja, ), então .
    • Portanto, para todo real.
Como tanto quanto estão definidos para todos os valores reais de e , o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir.
Vamos analisar cada parte da função:
  1. Analisando :
    • Como é o quadrado de , ele é sempre não negativo. Ou seja, .
  2. Analisando :
    • Já vimos que , então .
    • Portanto, também é não negativo.
Agora, multiplicando essas duas partes:
  • é não negativo.
  • é não negativo.
  • O produto de dois números não negativos também é não negativo.
Além disso:
  • Se ou , então .
  • Para outros valores de e , pode crescer sem limite, já que e podem se tornar arbitrariamente grandes.
Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja, .

Resposta

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais para e . A imagem da função é o conjunto dos números reais não negativos, .

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