Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender para quais valores de
e
a função está definida (domínio) e quais são os possíveis resultados que a função pode gerar (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os pares
para os quais a função
está bem definida.
A função
é composta por duas partes:
e
.
-
Analisando
: - O termo
é o quadrado de , e qualquer número real ao quadrado é definido. Ou seja, para qualquer valor real de , existe.
- O termo
-
Analisando
: - A função logaritmo natural,
, está definida quando . - Aqui,
. - Como
é sempre não negativo (ou seja, ), então . - Portanto,
para todo real.
- A função logaritmo natural,
Como tanto
quanto
estão definidos para todos os valores reais de
e
, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir.
Vamos analisar cada parte da função:
-
Analisando
: - Como
é o quadrado de , ele é sempre não negativo. Ou seja, .
- Como
-
Analisando
: - Já vimos que
, então . - Portanto,
também é não negativo.
- Já vimos que
Agora, multiplicando essas duas partes:
-
é não negativo. -
é não negativo. - O produto de dois números não negativos também é não negativo.
Além disso:
- Se
ou , então . - Para outros valores de
e , pode crescer sem limite, já que e podem se tornar arbitrariamente grandes.
Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja,
.
Resposta
O domínio da função
é todo o conjunto dos números reais para
e
. A imagem da função é o conjunto dos números reais não negativos,
.