(2,0 pontos) A integral integral0^1 integral0^1-x(y-x) raizx+y d y d x pode ser calculada com a mudança de variáveis u=y-x, v=x+y.
Determine as expressões de x=x(u, v), y=y(u, v) e partial(x, y)partial(u, v);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla que precisa ser resolvida usando uma mudança de variável. O enunciado nos dá as variáveis novas e . Nosso objetivo é encontrar como expressar e em termos de e , além de calcular o determinante da matriz jacobiana, que é . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações e entender o que é a matriz jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações que relacionam u = y - x e v = x + y com e :
Agora, queremos expressar e em termos de e .

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para u + v = (y - x) + (x + y) = 2y e y = u + v2 . Podemos somar as duas equações:
Dessa forma, isolamos :

Passo 4

Agora que temos v = x + u + v2 em termos de 2v = 2x + u + v e 2x = 2v - u - v , vamos substituir na equação 2x = v - u para encontrar x = v - u2 :
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Isolando :

Passo 5

Então, agora temos as expressões de x = v - u2 e y = u + v2 em termos de e :

Passo 6

Agora vamos calcular a matriz jacobiana partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v . Isso envolve calcular as derivadas parciais de partial xpartial u = -12, partial xpartial v = 12 e partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12 em relação a e . Vamos montar a matriz:
Vamos calcular cada derivada:

Passo 7

Agora, o determinante da matriz jacobiana é calculado assim:
partial(x, y)partial(u, v) = - 12 & 12 12 & 12 = (-12)(12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12

Resposta

As expressões são , e o determinante da matriz jacobiana é .

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