(2,0 pontos) A integral pode ser calculada com a mudança de variáveis .
Determine as expressões de e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla que precisa ser resolvida usando uma mudança de variável. O enunciado nos dá as variáveis novas e . Nosso objetivo é encontrar como expressar e em termos de e , além de calcular o determinante da matriz jacobiana, que é . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações e entender o que é a matriz jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações que relacionam e com e :
Agora, queremos expressar e em termos de e .
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para e . Podemos somar as duas equações:
Dessa forma, isolamos :
Passo 4
Agora que temos em termos de e , vamos substituir na equação para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Isolando :
Passo 5
Então, agora temos as expressões de e em termos de e :
Passo 6
Agora vamos calcular a matriz jacobiana . Isso envolve calcular as derivadas parciais de e em relação a e . Vamos montar a matriz:
Vamos calcular cada derivada:
Passo 7
Agora, o determinante da matriz jacobiana é calculado assim:
Resposta
As expressões são , e o determinante da matriz jacobiana é .