Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = x^2 * raiz(1 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio e a imagem da função . O domínio são todos os pares para os quais a função está bem definida, e a imagem é o conjunto de todos os resultados possíveis que a função pode dar. Para isso, vamos precisar entender as restrições das operações matemáticas envolvidas, como a raiz quadrada e o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio. A função envolve uma raiz quadrada, especificamente . Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Resolvendo essa inequação para :
Isso significa que deve estar entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, olha só o termo . Como o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, está definido para todos os valores de reais. Ou seja, não há restrições para .

Passo 4

Com isso, juntando as informações, o domínio da função é todo o conjunto de números reais para e variando entre -1 e 1. Em notação matemática, podemos escrever:
í

Passo 5

Agora vamos para a imagem da função. Sabemos que é sempre maior ou igual a zero e também é maior ou igual a zero. Além disso, tem um valor máximo de 1 (quando ) e mínimo de 0 (quando ).
Como pode ser qualquer número não negativo e está sendo multiplicado por um número entre 0 e 1, o produto pode variar de 0 até . Como pode ser qualquer número real, isso significa que a imagem pode se estender até o infinito positivo.

Resposta

O domínio é e a imagem é .

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