Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio e a imagem da função
. O domínio são todos os pares
para os quais a função está bem definida, e a imagem é o conjunto de todos os resultados possíveis que a função pode dar. Para isso, vamos precisar entender as restrições das operações matemáticas envolvidas, como a raiz quadrada e o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio. A função envolve uma raiz quadrada, especificamente
. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Resolvendo essa inequação para
:
Isso significa que
deve estar entre -1 e 1.
Passo 3
Agora, olha só o termo
. Como o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo,
está definido para todos os valores de
reais. Ou seja, não há restrições para
.
Passo 4
Com isso, juntando as informações, o domínio da função
é todo o conjunto de números reais para
e
variando entre -1 e 1. Em notação matemática, podemos escrever:
Passo 5
Agora vamos para a imagem da função. Sabemos que
é sempre maior ou igual a zero e
também é maior ou igual a zero. Além disso,
tem um valor máximo de 1 (quando
) e mínimo de 0 (quando
).
Como
pode ser qualquer número não negativo e está sendo multiplicado por um número entre 0 e 1, o produto
pode variar de 0 até
. Como
pode ser qualquer número real, isso significa que a imagem pode se estender até o infinito positivo.
Resposta
O domínio é
e a imagem é
.