Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = 1 / (1 + x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender para quais valores de e a função está bem definida (domínio) e quais valores de saída a função pode gerar (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e que deixam a função bem definida. Olhando para a nossa função, temos uma fração:
Para que essa fração seja válida, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, precisamos garantir que:

Passo 3

Vamos resolver essa inequação para encontrar as restrições no domínio:
Isso significa que o produto não pode ser igual a -1. Portanto, o domínio da função consiste em todos os pares de números reais onde não é -1.

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. Temos:
Como pode ser qualquer número real exceto -1, pode ser qualquer número real diferente de zero.

Passo 5

Vamos analisar os possíveis valores de :
  • Se for um número positivo muito grande, tende a 0.
  • Se for um número positivo pequeno, será um número positivo grande.
  • Se for um número negativo pequeno, será um número negativo grande.
  • Se for um número negativo muito grande, tende a 0.
O que podemos perceber é que pode assumir qualquer número real, exceto zero. Isso porque nunca conseguimos que seja infinito para que .

Resposta

  • Domínio: Todos os pares tais que .
  • Imagem: Todos os números reais exceto zero, ou seja, .

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