Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender para quais valores de
e
a função está bem definida (domínio) e quais valores de saída a função pode gerar (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
que deixam a função bem definida. Olhando para a nossa função, temos uma fração:
Para que essa fração seja válida, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, precisamos garantir que:
Passo 3
Vamos resolver essa inequação para encontrar as restrições no domínio:
Isso significa que o produto
não pode ser igual a -1. Portanto, o domínio da função consiste em todos os pares
de números reais onde
não é -1.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Temos:
Como
pode ser qualquer número real exceto -1,
pode ser qualquer número real diferente de zero.
Passo 5
Vamos analisar os possíveis valores de
:
- Se
for um número positivo muito grande, tende a 0. - Se
for um número positivo pequeno, será um número positivo grande. - Se
for um número negativo pequeno, será um número negativo grande. - Se
for um número negativo muito grande, tende a 0.
O que podemos perceber é que
pode assumir qualquer número real, exceto zero. Isso porque nunca conseguimos que
seja infinito para que
.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
tais que . - Imagem: Todos os números reais exceto zero, ou seja,
.