(2,0 ponto) Seja a região do espaço limitada por baixo pelo plano , acima pela esfera e lateralmente pelo cilindro . Escreva a integral iterada que descreve o volume de usando:
Coordenadas esféricas, com ordem de integração .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região no espaço que é limitada por três superfícies:
Inferiormente: pelo plano ;
Superiormente: pela esfera ;
Lateralmente: pelo cilindro .
A matéria que estamos lidando aqui é cálculo em coordenadas esféricas, e vamos precisar transformar as equações dessas superfícies para coordenadas esféricas para montar a integral que calcula o volume dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por , onde:
é a distância do ponto até a origem;
é o ângulo polar, ou seja, o ângulo entre o vetor posição e o eixo ;
é o ângulo azimutal, o ângulo entre a projeção do vetor posição no plano e o eixo .
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Vamos transformar as equações das superfícies para coordenadas esféricas.
Plano :
Esfera :
Cilindro :
Substituindo e :
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável.
: como o cilindro é simétrico em relação ao eixo , varia de a .
: de a porque a região está acima do plano .
: varia do cilindro até a esfera, ou seja, de até .
Passo 5
Lembrando que, em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral iterada usando os limites que encontramos:
Resposta
A integral iterada que descreve o volume de em coordenadas esféricas é: