(2,0 ponto) Seja R a região do espaço limitada por baixo pelo plano z = 0, acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 e lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 1. Escreva a integral iterada que descreve o volume de R usando:
Coordenadas esféricas, com ordem de integração d rho d phi d theta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região no espaço que é limitada por três superfícies:
  • Inferiormente: pelo plano ;
  • Superiormente: pela esfera ;
  • Lateralmente: pelo cilindro .
A matéria que estamos lidando aqui é cálculo em coordenadas esféricas, e vamos precisar transformar as equações dessas superfícies para coordenadas esféricas para montar a integral que calcula o volume dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem;
  • é o ângulo polar, ou seja, o ângulo entre o vetor posição e o eixo ;
  • é o ângulo azimutal, o ângulo entre a projeção do vetor posição no plano e o eixo .
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Vamos transformar as equações das superfícies para coordenadas esféricas.
  1. Plano :
  1. Esfera :
  1. Cilindro :
    Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável.
  • : como o cilindro é simétrico em relação ao eixo , varia de a .
  • : de a porque a região está acima do plano .
  • : varia do cilindro até a esfera, ou seja, de até .

Passo 5

Lembrando que, em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral iterada usando os limites que encontramos:

Resposta

A integral iterada que descreve o volume de em coordenadas esféricas é:

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