Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, a gente tem que descobrir o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Vamos usar conceitos de funções trigonométricas e propriedades de polinômios para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (no caso,
e
) para os quais a função está definida.
Passo 3
Observando a função
, sabemos que a função cosseno,
, está definida para todo número real
. Isso significa que não há restrições sobre o que
pode ser.
Passo 4
Além disso,
é sempre não negativo porque é a soma de quadrados. Mas isso não impõe nenhuma limitação extra já que o cosseno já aceita qualquer número real, positivo ou negativo.
Passo 5
Portanto, como o cosseno está definido para todo
, e
e
podem ser qualquer número real, o domínio da função
é todo o plano real, ou seja,
.
Passo 6
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode produzir.
Passo 7
Sabemos que a função cosseno,
, sempre retorna valores no intervalo de -1 a 1, ou seja,
.
Passo 8
Multiplicando esse resultado por 2, como na nossa função
, os valores vão de
até
. Então, a imagem fica entre -2 e 2.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.