Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = 2 * cos(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, a gente tem que descobrir o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Vamos usar conceitos de funções trigonométricas e propriedades de polinômios para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar pelo domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (no caso, e ) para os quais a função está definida.

Passo 3

Observando a função , sabemos que a função cosseno, , está definida para todo número real . Isso significa que não há restrições sobre o que pode ser.

Passo 4

Além disso, é sempre não negativo porque é a soma de quadrados. Mas isso não impõe nenhuma limitação extra já que o cosseno já aceita qualquer número real, positivo ou negativo.

Passo 5

Portanto, como o cosseno está definido para todo , e e podem ser qualquer número real, o domínio da função é todo o plano real, ou seja, .

Passo 6

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode produzir.

Passo 7

Sabemos que a função cosseno, , sempre retorna valores no intervalo de -1 a 1, ou seja, .

Passo 8

Multiplicando esse resultado por 2, como na nossa função , os valores vão de até . Então, a imagem fica entre -2 e 2.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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