Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função
. Vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e exponenciais para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
que fazem a função
estar bem definida.
Passo 3
Sabemos que o logaritmo natural,
, só está definido quando
. Então, para a nossa função, precisamos que a expressão dentro do logaritmo seja maior que zero:
Passo 4
Agora, vamos analisar essa desigualdade. As funções exponenciais,
e
, são sempre positivas, independente dos valores de
e
. Ou seja,
e
para todo
e
.
Passo 5
Como soma de números positivos é sempre positiva, temos que:
sempre será verdadeira, não importa quais valores tomem
e
.
Passo 6
Portanto, o domínio da função
são todos os números reais para
e
, ou seja:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Passo 8
A função
combina as exponenciais de
e
e depois aplica o logaritmo. Vamos analisar os possíveis valores dessa expressão.
Passo 9
Como
e
, a soma
também é sempre maior que zero. Vamos ver os limites dessa soma:
- Se
e tendem para , e tendem para 0, então tende para 0. - Se
ou tendem para , tende para .
Passo 10
Aplicando o logaritmo natural, que é uma função crescente:
- Quando
tende para 0, tende para . - Quando
tende para , também tende para .
Passo 11
Assim, a imagem da função
é todo o conjunto dos números reais, já que
pode assumir qualquer valor real.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.