Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = ln(e^x + e^y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função . Vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e exponenciais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e que fazem a função estar bem definida.

Passo 3

Sabemos que o logaritmo natural, , só está definido quando . Então, para a nossa função, precisamos que a expressão dentro do logaritmo seja maior que zero:

Passo 4

Agora, vamos analisar essa desigualdade. As funções exponenciais, e , são sempre positivas, independente dos valores de e . Ou seja, e para todo e .

Passo 5

Como soma de números positivos é sempre positiva, temos que:
sempre será verdadeira, não importa quais valores tomem e .

Passo 6

Portanto, o domínio da função são todos os números reais para e , ou seja:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir.

Passo 8

A função combina as exponenciais de e e depois aplica o logaritmo. Vamos analisar os possíveis valores dessa expressão.

Passo 9

Como e , a soma também é sempre maior que zero. Vamos ver os limites dessa soma:
  • Se e tendem para , e tendem para 0, então tende para 0.
  • Se ou tendem para , tende para .

Passo 10

Aplicando o logaritmo natural, que é uma função crescente:
  • Quando tende para 0, tende para .
  • Quando tende para , também tende para .

Passo 11

Assim, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais, já que pode assumir qualquer valor real.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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