(2,0 pontos) Um sólido reto tem base no plano x y e é limitado acima por uma função contínua f=f(x, y). O volume do sólido é dado por
V=integral0^3 integral0^y f(x, y) d x d y+integral3^6 integral0^-y+6 f(x, y) d x d y
Que artifício(s) nos permite(m) expressar V com uma só integral dupla iterada? Use-o(s) ou justifique o fato de não ser possível expressá-la desse modo.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sólido reto cuja base está no plano V = integral0^3 integral0^y f(x, y) , dx , dy + integral3^6 integral0^-y + 6 f(x, y) , dx , dy e que é limitado acima por uma função contínua . O volume desse sólido está sendo calculado por duas integrais duplas iteradas separadas:
O objetivo é descobrir como podemos combinar essas duas integrais em uma única integral dupla iterada. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
integral0^3 integral0^y f(x, y) , dx , dy
Aqui, varia de 0 a 3, e para cada valor de , varia de 0 até . Isso descreve uma região triangular no plano , onde a base está no eixo indo de 0 a 3, e a altura para cada vai de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda integral:
integral3^6 integral0^-y + 6 f(x, y) , dx , dy
Nesta parte, varia de 3 a 6, e para cada , varia de 0 até . Essa é outra região triangular adjacente à primeira, onde a base no eixo vai de 3 a 6, e a altura para cada vai de 0 até .

Passo 4

Para combinar essas duas integrais em uma única integral dupla, precisamos descrever toda a região de integração de forma contínua, sem precisar dividir em duas partes. Observamos que a divisão ocorre no ponto , onde os limites de mudam de para .
Uma forma de unificar isso é usar uma função que descreva o limite superior de para todo o intervalo de de 0 a 6. Podemos usar a função para sempre pegar o menor valor entre e para o limite de .

Passo 5

Com isso em mente, podemos reescrever o volume V = integral0^6 integral0^min(y, -y + 6) f(x, y) , dx , dy como uma única integral dupla iterada:
Aqui, para cada entre 0 e 6, varia de 0 até o menor valor entre e , cobrindo assim ambas as regiões que estavam separadas nas integrais originais.

Resposta

Sim, o volume V = integral0^6 integral0^min(y, -y + 6) f(x, y) , dx , dy pode ser expresso como uma única integral dupla iterada utilizando a função para definir os limites de . Portanto, temos:

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