(2,0 pontos) Um sólido reto tem base no plano
e é limitado acima por uma função contínua
. O volume do sólido é dado por
Que artifício(s) nos permite(m) expressar
com uma só integral dupla iterada? Use-o(s) ou justifique o fato de não ser possível expressá-la desse modo.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sólido reto cuja base está no plano
e que é limitado acima por uma função contínua
. O volume
desse sólido está sendo calculado por duas integrais duplas iteradas separadas:
O objetivo é descobrir como podemos combinar essas duas integrais em uma única integral dupla iterada. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
Aqui,
varia de 0 a 3, e para cada valor de
,
varia de 0 até
. Isso descreve uma região triangular no plano
, onde a base está no eixo
indo de 0 a 3, e a altura para cada
vai de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda integral:
Nesta parte,
varia de 3 a 6, e para cada
,
varia de 0 até
. Essa é outra região triangular adjacente à primeira, onde a base no eixo
vai de 3 a 6, e a altura para cada
vai de 0 até
.
Passo 4
Para combinar essas duas integrais em uma única integral dupla, precisamos descrever toda a região de integração de forma contínua, sem precisar dividir em duas partes. Observamos que a divisão ocorre no ponto
, onde os limites de
mudam de
para
.
Uma forma de unificar isso é usar uma função que descreva o limite superior de
para todo o intervalo de
de 0 a 6. Podemos usar a função
para sempre pegar o menor valor entre
e
para o limite de
.
Passo 5
Com isso em mente, podemos reescrever o volume
como uma única integral dupla iterada:
Aqui, para cada
entre 0 e 6,
varia de 0 até o menor valor entre
e
, cobrindo assim ambas as regiões que estavam separadas nas integrais originais.
Resposta
Sim, o volume
pode ser expresso como uma única integral dupla iterada utilizando a função
para definir os limites de
. Portanto, temos: