(2,0 pontos) A integral pode ser calculada com a mudança de variáveis .
A integral nas coordenadas é dada por . Determine as expressões de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla . O enunciado sugere fazermos uma mudança de variáveis usando e . Nosso objetivo é reescrever essa integral nas novas coordenadas e , e para isso precisamos encontrar as expressões de , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariado, especialmente sobre mudança de variáveis em integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Definimos:
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo esse sistema:
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
J = (-12) (12) - (12) (12) = -14 - 14 = -12
Então,
O valor absoluto do Jacobiano é . Isso será o nosso .
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de u1 = -v2 e u2 = v2 . Originalmente, varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a .
Usando e , os limites se transformam da seguinte maneira:
Quando , e , então vai de 0 a 1.
Quando , e , então vai de a .
No entanto, observando a região de integração original, sempre é maior ou igual a 0 e menor ou igual a , o que implica que varia de a . Para simplificar, notamos que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a .