(2,0 pontos) A integral integral0^1 integral0^1-x(y-x) raizx+y d y d x pode ser calculada com a mudança de variáveis u=y-x, v=x+y.
A integral nas coordenadas u v é dada por integral0^1 integralu1^u2 alpha u raizv d u d v. Determine as expressões de u1, u2 e alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla . O enunciado sugere fazermos uma mudança de variáveis usando e . Nosso objetivo é reescrever essa integral nas novas coordenadas e , e para isso precisamos encontrar as expressões de , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariado, especialmente sobre mudança de variáveis em integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Definimos:
u = y - x
v = x + y
Agora, precisamos expressar x = v - u2 e y = v + u2 em termos de e . Resolvendo esse sistema:

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
partial xpartial u = -12, partial xpartial v = 12
Calculando as derivadas:
partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
J = (-12) (12) - (12) (12) = -14 - 14 = -12
Então,
O valor absoluto do Jacobiano é . Isso será o nosso .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de u1 = -v2 e u2 = v2 . Originalmente, varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a .
Usando e , os limites se transformam da seguinte maneira:
Quando , e , então vai de 0 a 1.
Quando , e , então vai de a .
No entanto, observando a região de integração original, sempre é maior ou igual a 0 e menor ou igual a , o que implica que varia de a . Para simplificar, notamos que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a .
Portanto:

Resposta

As expressões são:
u1 = -v2, u2 = v2, alpha = 12

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