Determine o domínio e a imagem da função:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
Para isso vamos precisar:
- Identificar restrições de domínio (radicando
e denominadores ). - Determinar extremos e limites para achar a imagem.
Passo 2
Impondo as condições de existência:
- Dentro da raiz:
, logo . - Denominador
⇒ , mas como já exigimos , isso é automático. - Denominador
⇒ , também fora do intervalo .
Portanto
Passo 3
Para entender a imagem, analisamos
em
e o comportamento quando
:
Em :
Em
Quando
, temos
Logo
Passo 4
Mostramos que
é estritamente crescente em
.
- A função é contínua em
. - Seu derivado é
Uma análise detalhada (ou verificação numérica em pontos-chave) mostra que
para todo
.
Portanto cresce de forma monotônica desde
até o limite
quando
.
Portanto
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: