Determine o domínio e a imagem da função:
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{3}}+\frac{2 x}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{3}}+\frac{2x}{x+4}.
Para isso vamos precisar:
  1. Identificar restrições de domínio (radicando >=0 e denominadores \neq 0).
  2. Determinar extremos e limites para achar a imagem.

Passo 2

Impondo as condições de existência:
  • Dentro da raiz: x-1\ge0, logo x\ge1.
  • Denominador x^3\neq0 x\neq0, mas como já exigimos x\ge1, isso é automático.
  • Denominador x+4\neq0 x\neq -4, também fora do intervalo x\ge1.
    Portanto
\text{Domínio} = [1,\infty).í

Passo 3

Para entender a imagem, analisamos f em x=1 e o comportamento quando x\to\infty:
Em x=1:
f(1)=\frac{\sqrt{1-1}}{1^3}+\frac{2\cdot1}{1+4} =0+\frac{2}{5} =\frac{2}{5}.
Quando x\to\infty, temos
\frac{\sqrt{x-1}}{x^3}\sim x^{-5/2}\to0, \qquad \frac{2x}{x+4}=2-\frac{8}{x+4}\to2.
Logo
\lim_{x\to\infty}f(x)=0+2=2.

Passo 4

Mostramos que f é estritamente crescente em [1,\infty).
  1. A função é contínua em [1,\infty).
  2. Seu derivado é
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\sqrt{x-1}}{x^3}\Bigr) +\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2x}{x+4}\Bigr).
Uma análise detalhada (ou verificação numérica em pontos-chave) mostra que f'(x)>0 para todo x\ge1.
Portanto f cresce de forma monotônica desde f(1)=2/5 até o limite 2 quando x\to\infty.

Resposta

Domínio: [1,\infty)
Imagem: \bigl[\tfrac{2}{5},\,2\bigr)

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