O plano x+2 y+3 z=0 corta o cilindro y^{2}+z^{2}=1 \mathrm{em} uma elipse. Encontre os pontos sobre a elipse que estão mais próximo e mais distante da origem.
Cada questão vale (2,5). Justifique suas respostas. Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração \triangle \bigodot \bigcirc. Boa prova.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da elipse formada pela intersecção do cilindro
y^2 + z^2 = 1
com o plano
x + 2y + 3z = 0
que minimizam e maximizam a distância à origem. O conteúdo é otimização com restrição, que podemos atacar por multiplicadores de Lagrange ou reduzindo a um problema de forma quadrática em duas variáveis sujeita a um círculo.
Eles correspondem aos valores extremos de F em y^2+z^2=1, portanto aos quadrados das distâncias mínima e máxima.
Passo 6
Para cada \lambda achamos a razão
\frac{z}{y} = \frac{\lambda -5}{5}.
Para \lambda_{\max} = \tfrac{15+5\sqrt5}{2} vem \frac{z}{y} = \tfrac{1+\sqrt5}{2} = \varphi.
Para \lambda_{\min} = \tfrac{15-5\sqrt5}{2} vem \frac{z}{y} = \tfrac{1-\sqrt5}{2} = -1/\varphi.
Em cada caso normalizamos (y,z) para y^2+z^2=1 e então calculamos
x = -2y -3z.
Resposta
Os pontos de maior distância D^2=\tfrac{15+5\sqrt5}{2} são