O plano x+2 y+3 z=0 corta o cilindro y^{2}+z^{2}=1 \mathrm{em} uma elipse. Encontre os pontos sobre a elipse que estão mais próximo e mais distante da origem.
Cada questão vale (2,5). Justifique suas respostas. Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração \triangle \bigodot \bigcirc. Boa prova.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da elipse formada pela intersecção do cilindro
y^2 + z^2 = 1
com o plano
x + 2y + 3z = 0
que minimizam e maximizam a distância à origem. O conteúdo é otimização com restrição, que podemos atacar por multiplicadores de Lagrange ou reduzindo a um problema de forma quadrática em duas variáveis sujeita a um círculo.

Passo 2

Da equação do plano isolamos
x = -\,2y \;-\;3z
e substituímos na distância ao quadrado
D^2 = x^2 + y^2 + z^2
para obter em função de y,z apenas:
D^2 = ( -2y - 3z )^2 + y^2 + z^2 = 5y^2 + 10yz + 10z^2.
O problema ficou em extremizar
F(y,z) = 5y^2 + 10yz + 10z^2
sujeito a
y^2 + z^2 = 1.

Passo 3

Usamos multiplicador de Lagrange \lambda para a restrição y^2+z^2-1=0. Definimos
\mathcal{L}(y,z,\lambda) = 5y^2 + 10yz + 10z^2 \;-\;\lambda\,(y^2+z^2-1).
As condições de otimalidade são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 0, \quad y^2 + z^2 = 1.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 10y + 10z \;-\;2\lambda\,y = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 10y + 20z \;-\;2\lambda\,z = 0.
Reescrevendo,
(5-\lambda)\,y + 5\,z = 0, \quad 5\,y + (10-\lambda)\,z = 0.
Para existir solução não trivial em (y,z), o determinante deve anular:
\begin{vmatrix} 5-\lambda & 5\\\\ 5 & 10-\lambda \end{vmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 -15\lambda +25 =0.

Passo 5

Da equação característica obtemos os autovalores
\lambda_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 -100}}{2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2}.
Eles correspondem aos valores extremos de F em y^2+z^2=1, portanto aos quadrados das distâncias mínima e máxima.

Passo 6

Para cada \lambda achamos a razão
\frac{z}{y} = \frac{\lambda -5}{5}.
  1. Para \lambda_{\max} = \tfrac{15+5\sqrt5}{2} vem
    \frac{z}{y} = \tfrac{1+\sqrt5}{2} = \varphi.
  2. Para \lambda_{\min} = \tfrac{15-5\sqrt5}{2} vem
    \frac{z}{y} = \tfrac{1-\sqrt5}{2} = -1/\varphi.
    Em cada caso normalizamos (y,z) para y^2+z^2=1 e então calculamos
x = -2y -3z.

Resposta

Os pontos de maior distância D^2=\tfrac{15+5\sqrt5}{2} são
\bigl(-3.605\,,\,0.526\,,\,0.851\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(3.605\,,-0.526\,,-0.851\bigr),
e os de menor distância D^2=\tfrac{15-5\sqrt5}{2} são
\bigl(-0.124\,,\,0.851\,,-0.526\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(0.124\,,-0.851\,,\,0.526\bigr).

Exercícios relacionados