Prove que, se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, então ela própria é convergente.
Passo 1
O enunciado afirma: “Seja (x_n) uma sequência monotônica (isto é, ou crescente ou decrescente) e suponha que existe uma subsequência \bigl(x_{n_k}\bigr) que converge para algum limite L. Prove que então (x_n) também converge.”
Conteúdo principal: propriedades de sequências monótonas e uso direto da definição de limite. Vamos distinguir o caso em que (x_n) é crescente e o caso em que é decrescente, e em cada caso usar o fato de que toda subsequência convergente fornece uma “âncora” para mostrar que o restante da sequência fica arbitrariamente próximo de L.
Passo 2
Suponha primeiro que (x_n) seja crescente e que x_{n_k}\to L. Vou mostrar que para todo índice n vale
x_n \le L.
Se existisse algum m tal que x_m > L, então, como (x_n) é crescente, teríamos para todo k
x_{n_k} \;\ge\; x_m \;>\; L,
o que impediria x_{n_k} de convergir para L. Logo, necessariamente x_n\le L para todo n.
De modo análogo, se (x_n) fosse decrescente e x_{n_k}\to L, então a hipótese de existir algum m com x_m < L levaria a x_{n_k}\le x_m < L para todo k, contradizendo a convergência ao valor L. Concluímos que, no caso decrescente,
x_n \ge L\quad\forall\,n.
Passo 3
Agora provamos a convergência da sequência inteira usando a definição de limite.
Caso crescente: dado \varepsilon>0, como x_{n_k}\to L existe K tal que para todo k\ge K
\bigl|x_{n_k}-L\bigr|<\varepsilon.
Escolhendo N = n_K, para todo n\ge N temos, pela monotonicidade,
x_{n_K}\;\le\;x_n\;\le\;L.
Então
0 \;\le\; L - x_n \;\le\; L - x_{n_K} = \bigl|x_{n_K}-L\bigr| < \varepsilon,
isto é, \bigl|x_n-L\bigr|<\varepsilon. Logo \lim_{n\to\infty}x_n = L.
Caso decrescente: dado \varepsilon>0 pegue K tal que \bigl|x_{n_K}-L\bigr|<\varepsilon. Defina N=n_K. Para n\ge N vale