Determine o domínio e a imagem da função:
y=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}}

Passo 1

O enunciado pede domínio e imagem da função
y = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}.
Conteúdo: analisar restrições de existência (radicando não negativo e denominador não zero) e estudar o valor da raiz para determinar a imagem.

Passo 2

Para existir a raiz, precisamos de duas condições simultâneas:
  1. O denominador não pode ser zero, ou seja x \neq -3.
  2. O radicando deve ser não negativo:
\frac{x - 1}{x + 3} \;\ge\; 0.

Passo 3

Resolvendo a inequação \frac{x - 1}{x + 3} \ge 0:
• Pontos críticos em x=1 (numerador zero) e x=-3 (denominador zero).
• Testando intervalos:
  • Para x<-3: numerador x-1<0, denominador x+3<0 ⇒ quociente >0.
  • Para -3<x<1: numerador <0, denominador > 0\Rightarrow quociente <0.
  • Para x>1: numerador >0, denominador > 0\Rightarrow quociente >0.
    Além disso, em x=1 o radicando vale zero, o que é permitido.
Logo o conjunto solução é
x\in(-\infty,-3)\;\cup\;[1,\infty),
excluindo x=-3.

Passo 4

Concluímos que o domínio é
\mathcal{D} = (-\infty,-3)\;\cup\;[1,\infty).

Passo 5

Agora determinamos a imagem y\ge0. Defina
f(x)=\frac{x-1}{x+3},\quad y=\sqrt{f(x)}.
Em cada ramo do domínio:
  1. Para x\in[1,\infty): f(1)=0 e \lim_{x\to\infty}f(x)=1 com f(x) crescendo de 0 até um valor que se aproxima de 1. Então
y\in[0,1)\quad\text{quando }x\in[1,\infty).
  1. Para x\in(-\infty,-3): \lim_{x\to-\infty}f(x)=1 (por cima) e \lim_{x\to -3^-}f(x)=+\infty, com f(x)>1 nesse intervalo e crescendo. Assim
y\in(1,\infty)\quad\text{quando }x\in(-\infty,-3).

Resposta

Domínio: \displaystyle(-\infty,-3)\cup[1,\infty)
Imagem: \displaystyle[0,1)\cup(1,\infty), isto é, [0,\infty)\setminus\{1\}.

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