Determine o domínio e a imagem da função:
Passo 1
O enunciado pede domínio e imagem da função
Conteúdo: analisar restrições de existência (radicando não negativo e denominador não zero) e estudar o valor da raiz para determinar a imagem.
Passo 2
Para existir a raiz, precisamos de duas condições simultâneas:
- O denominador não pode ser zero, ou seja
. - O radicando deve ser não negativo:
Passo 3
Resolvendo a inequação
:
• Pontos críticos em (numerador zero) e
(denominador zero).
• Testando intervalos:
• Pontos críticos em
• Testando intervalos:
- Para
: numerador , denominador ⇒ quociente >0. - Para
: numerador <0, denominador > quociente <0. - Para
: numerador >0, denominador > quociente >0.
Além disso, emo radicando vale zero, o que é permitido.
Logo o conjunto solução é
excluindo
.
Passo 4
Concluímos que o domínio é
Passo 5
Agora determinamos a imagem
. Defina
Em cada ramo do domínio:
- Para
: e com crescendo de 0 até um valor que se aproxima de 1. Então
- Para
: (por cima) e , com nesse intervalo e crescendo. Assim
Resposta
Domínio:
Imagem: , isto é,
.
Imagem: