Determine o domínio e a imagem da função:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+3 \text { se } x<-2 \\\\ 4-x^{2} \text { se }-2 \leq x \leq 2 \\\\ 3-x \text { se } 2<x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+3, & x< -2,\\\\ 4 - x^2, & -2 \le x \le 2,\\\\ 3 - x, & x>2, \end{cases}
e pede o domínio e a imagem. O conteúdo é análise de função definida por partes: vamos primeiro obter o domínio a partir de onde cada ramo está definido e depois achar o conjunto de valores (imagem) unindo o alcance de cada pedaço.

Passo 2

Para achar o domínio, basta coletar os intervalos em que cada ramo está definido:
(-\infty,-2)\;\cup\;[-2,2]\;\cup\;(2,\infty).
Como esses intervalos cobrem todos os reais sem lacuna, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Análise do primeiro ramo f_1(x)=x+3 com x< -2:
ao seguir x\to -\infty, f_1(x)\to -\infty; ao aproximar x\to -2^-,
f_1(x)\to -2+3=1,
mas não atinge 1 (pois x nunca chega a -2). Logo o alcance de f_1 é
(-\infty,1).

Passo 4

Análise do segundo ramo f_2(x)=4-x^2 com -2\le x\le2:
é uma parábola invertida, contínua no intervalo fechado. Atinge o valor máximo em x=0,
f_2(0)=4-0^2=4,
e o valor mínimo nas extremidades x=\pm2,
f_2(\pm2)=4-4=0.
Portanto o alcance de f_2 é
[0,4].

Passo 5

Análise do terceiro ramo f_3(x)=3-x com x>2:
ao aproximar x\to2^+,
f_3(x)\to 3-2=1
(sem atingir 1), e ao seguir x\to+\infty, f_3(x)\to -\infty. Assim o alcance de f_3 é
(-\infty,1).

Passo 6

A imagem de f é a união dos alcances dos três ramos:
(-\infty,1)\;\cup\;[0,4]\;\cup\;(-\infty,1) = (-\infty,4].

Resposta

O domínio é \mathbb{R} e a imagem é (-\infty,4].

Exercícios relacionados