Determine o domínio e a imagem da função: f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+3 \text { se } x<-2 \\\\ 4-x^{2} \text { se }-2 \leq x \leq 2 \\\\ 3-x \text { se } 2<x\end{array}\right.
e pede o domínio e a imagem. O conteúdo é análise de função definida por partes: vamos primeiro obter o domínio a partir de onde cada ramo está definido e depois achar o conjunto de valores (imagem) unindo o alcance de cada pedaço.
Passo 2
Para achar o domínio, basta coletar os intervalos em que cada ramo está definido:
(-\infty,-2)\;\cup\;[-2,2]\;\cup\;(2,\infty).
Como esses intervalos cobrem todos os reais sem lacuna, o domínio é \mathbb{R}.
Passo 3
Análise do primeiro ramo f_1(x)=x+3 com x< -2:
ao seguir x\to -\infty, f_1(x)\to -\infty; ao aproximar x\to -2^-,
f_1(x)\to -2+3=1,
mas não atinge 1 (pois x nunca chega a -2). Logo o alcance de f_1 é
(-\infty,1).
Passo 4
Análise do segundo ramo f_2(x)=4-x^2 com -2\le x\le2:
é uma parábola invertida, contínua no intervalo fechado. Atinge o valor máximo em x=0,
f_2(0)=4-0^2=4,
e o valor mínimo nas extremidades x=\pm2,
f_2(\pm2)=4-4=0.
Portanto o alcance de f_2 é
[0,4].
Passo 5
Análise do terceiro ramo f_3(x)=3-x com x>2:
ao aproximar x\to2^+,
f_3(x)\to 3-2=1
(sem atingir 1), e ao seguir x\to+\infty, f_3(x)\to -\infty. Assim o alcance de f_3 é
(-\infty,1).
Passo 6
A imagem de f é a união dos alcances dos três ramos: