Determine o domínio e a imagem da função f(x)=\frac{4 x+3}{3 x-9}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=\frac{4x+3}{3x-9}.
O domínio é o conjunto de todos os x para os quais o denominador não se anula. A imagem é o conjunto de todos os valores y que a função pode assumir, encontrado resolvendo y=\frac{4x+3}{3x-9} em função de y.

Passo 2

Para achar o domínio, imponho
3x-9 \neq 0.
Logo
x \neq 3.
Portanto o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 3

Para determinar a imagem, escrevo
y = \frac{4x+3}{3x-9}
e resolvo em x. Multiplicando em ambos os lados:
y(3x-9)=4x+3
3yx -9y = 4x +3
3yx -4x = 9y +3
x\,(3y-4)=9y+3.

Passo 4

Da última equação, se 3y-4\neq0 então
x = \frac{9y+3}{3y-4},
que é um número real para todo y\neq \tfrac{4}{3}. Se 3y-4=0, isto é, y=\tfrac{4}{3}, o numerador vale
9\cdot\frac{4}{3}+3 = 12+3 = 15 \neq 0,
logo não existe x que produza y=\tfrac{4}{3}. Portanto a função nunca atinge esse valor.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{3\}
Imagem: \mathbb{R}\setminus\bigl\{\tfrac{4}{3}\bigr\}

Exercícios relacionados