\int_{\gamma}\left(9+8 y^{\frac{1}{2}}\right) d s. \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=2 t^{\frac{3}{2}} \vec{i}+t^{2} \vec{j}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de função escalar
\int_{\gamma}\bigl(9+8\,y^{\frac12}\bigr)\,ds
onde \gamma é dada pela parametrização
\vec r(t)=\bigl(2\,t^{\tfrac32},\,t^2\bigr), \quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar: precisamos escrever y e ds em função de t.

Passo 2

Primeiro expressamos y e ds em t. Da parametrização temos
y(t)=t^2,
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y(t)^{\frac12}=t.
Para ds calculamos \vec r\,'(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\,t^{\tfrac32}\bigr)=3\,t^{\tfrac12}, \quad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^2)=2\,t.
Assim
ds =\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt =\sqrt{\bigl(3\,t^{\tfrac12}\bigr)^2+\bigl(2\,t\bigr)^2}\,dt =\sqrt{9\,t+4\,t^2}\;dt.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
I =\int_{0}^{1}\bigl(9+8\,t\bigr)\,\sqrt{9\,t+4\,t^2}\;dt.
Para simplificar, notamos que se definir
u=\sqrt{9\,t+4\,t^2},
então
u^2=9\,t+4\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dt}=\frac{9+8\,t}{2\,u} \;\Longrightarrow\; (9+8\,t)\,u=2\,u^2\,\frac{du}{dt}.
Logo o integrando fica
(9+8\,t)\,\sqrt{9\,t+4\,t^2} =2\,u^2\,\frac{du}{dt}.

Passo 4

Reescrevendo a integral em u:
quando t=0 temos u(0)=0, e quando t=1 temos u(1)=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Portanto
I =\int_{t=0}^{1}(9+8\,t)\,u\;dt =\int_{u=0}^{\sqrt{13}}2\,u^2\,du =2\;\biggl[\frac{u^3}{3}\biggr]_{0}^{\sqrt{13}} =\frac{2}{3}\,\bigl(\sqrt{13}\bigr)^3 =\frac{26}{3}\,\sqrt{13}.

Resposta

\frac{26}{3}\,\sqrt{13}

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