\int_{\gamma}\left(9+8 y^{\frac{1}{2}}\right) d s. \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=2 t^{\frac{3}{2}} \vec{i}+t^{2} \vec{j}, 0 \leq t \leq 1. Passo 1O enunciado pede calcular a integral de linha de função escalar \int_{\gamma}\bigl(9+8\,y^{\frac12}\bigr)\,ds onde \gamma é dada pela parametrização \vec r(t)=\bigl(2\,t^{\tfrac32},\,t^2\bigr), \quad 0\le t\le1. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar: precisamos escrever y e ds em função de t. Passo 2Primeiro expressamos y e ds em t. Da parametrização temos y(t)=t^2, logo y(t)^{\frac12}=t. Para ds calculamos \vec r\,'(t): x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\,t^{\tfrac32}\bigr)=3\,t^{\tfrac12}, \quad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^2)=2\,t. Assim ds =\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt =\sqrt{\bigl(3\,t^{\tfrac12}\bigr)^2+\bigl(2\,t\bigr)^2}\,dt =\sqrt{9\,t+4\,t^2}\;dt. Passo 3Substituindo na integral, obtemos I =\int_{0}^{1}\bigl(9+8\,t\bigr)\,\sqrt{9\,t+4\,t^2}\;dt. Para simplificar, notamos que se definir u=\sqrt{9\,t+4\,t^2}, então u^2=9\,t+4\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dt}=\frac{9+8\,t}{2\,u} \;\Longrightarrow\; (9+8\,t)\,u=2\,u^2\,\frac{du}{dt}. Logo o integrando fica (9+8\,t)\,\sqrt{9\,t+4\,t^2} =2\,u^2\,\frac{du}{dt}. Passo 4Reescrevendo a integral em u: quando t=0 temos u(0)=0, e quando t=1 temos u(1)=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}. Portanto I =\int_{t=0}^{1}(9+8\,t)\,u\;dt =\int_{u=0}^{\sqrt{13}}2\,u^2\,du =2\;\biggl[\frac{u^3}{3}\biggr]_{0}^{\sqrt{13}} =\frac{2}{3}\,\bigl(\sqrt{13}\bigr)^3 =\frac{26}{3}\,\sqrt{13}. Resposta \frac{26}{3}\,\sqrt{13} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEx. 2. Suponha que temos uma distribuição de calor identica a do exercício anterior, porém com L=\pi \mathrm{e} \alpha=1. Encontre a solução u(x, t) para a condição inicial: f(x)= \begin{cases}x, & 0<x<\frac{\pi}{2} \\\ \pi-x, & \frac{\pi}{2} \leq x<\pi\end{cases} Determine o domínio e a imagem da função f(x)=\frac{4 x+3}{3 x-9} Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. 9 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+82 y=0, \quad y(0)=-1, \quad y^{\prime}(0)=0 Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1