Ex. 2. Suponha que temos uma distribuição de calor identica a do exercício anterior, porém com
. Encontre a solução
para a condição inicial:
Passo 1
Temos a equação do calor unidimensional
em
, com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
e condição inicial
O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier senoidais.
Passo 2
Procuramos solução na forma
Separando variáveis, obtemos os modos próprios
e
Logo a solução geral é
Passo 3
Os coeficientes
vêm da expansão de
em série de senos:
Como
é definida por partes, escrevemos
Passo 4
Calculando cada integral por partes, chega-se a
Portanto
Como
para
ímpar e
para
, obtemos
Passo 5
Substituindo em
, só restam os termos
: