Ex. 2. Suponha que temos uma distribuição de calor identica a do exercício anterior, porém com L=\pi \mathrm{e} \alpha=1. Encontre a solução u(x, t) para a condição inicial:
f(x)= \begin{cases}x, & 0<x<\frac{\pi}{2} \\\ \pi-x, & \frac{\pi}{2} \leq x<\pi\end{cases}

Passo 1

Temos a equação do calor unidimensional
u_t = u_{xx},
em 0<x<\pi, com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0
e condição inicial
f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<\tfrac{\pi}{2},\\\ \pi - x, & \tfrac{\pi}{2}\le x<\pi. \end{cases}
O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier senoidais.

Passo 2

Procuramos solução na forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n\,X_n(x)\,T_n(t).
Separando variáveis, obtemos os modos próprios
X_n(x)=\sin(n x),\quad \lambda_n=n^2,
e
T_n(t)=e^{-n^2 t}.
Logo a solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n\,\sin(n x)\,e^{-n^2 t}.

Passo 3

Os coeficientes B_n vêm da expansão de f(x) em série de senos:
B_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(n x)\,dx.
Como f é definida por partes, escrevemos
\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(n x)\,dx =\int_{0}^{\pi/2}x\sin(n x)\,dx +\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(n x)\,dx.

Passo 4

Calculando cada integral por partes, chega-se a
\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(n x)\,dx =-\frac{\pi}{n}\cos\!\bigl(n\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Portanto
B_n=\frac{2}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi}{n}\cos(n\tfrac{\pi}{2})\Bigr) =-\frac{2}{n}\cos\!\bigl(n\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Como \cos(n\pi/2)=0 para n ímpar e \cos(n\pi/2)=(-1)^{k} para n=2k, obtemos
B_{2k-1}=0, \quad B_{2k}=-\frac{2}{2k}(-1)^k=\frac{(-1)^{k+1}}{k}.

Passo 5

Substituindo em u(x,t)=\sum B_n\sin(n x)e^{-n^2 t}, só restam os termos n=2k:
u(x,t) =\sum_{k=1}^{\infty}B_{2k}\,\sin(2k x)\,e^{-(2k)^2t} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\,\sin(2k x)\,e^{-4k^2t}.

Resposta

u(x,t) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\,\sin(2k x)\,e^{-4k^2t}.

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