Determine o domínio e imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre frações e condições para que elas sejam válidas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
que deixam a função bem definida. Aqui, temos uma fração, e sabemos que uma fração só é válida se o denominador não for zero. Então, precisamos garantir que:
Resolvendo essa equação:
Além disso, o numerador
está sempre definido para qualquer número real
, já que qualquer número real ao quadrado dá um resultado válido (não importa se
é positivo ou negativo). Portanto, a única restrição é que
não pode ser
nem
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem consiste em todos os valores possíveis que
pode assumir. Olhando para a função:
Sabemos que
é sempre não negativo (
). O denominador
pode ser positivo ou negativo, desde que não seja zero. Vamos analisar dois casos:
-
Quando
: - O denominador é positivo.
- Como
é não negativo, será não negativo.
-
Quando
: - O denominador é negativo.
- Multiplicando por
(que é não negativo), será não positivo.
Além disso, se escolhermos
,
, então zero está incluído na imagem. Como podemos obter valores positivos e negativos, a função pode assumir qualquer número real.
Resposta
O domínio da função
é todos os pares
onde
e
. A imagem da função é todo número real, ou seja,
.