Determine o domínio e imagem da função f(x, y)=y^2x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre frações e condições para que elas sejam válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x^2 - 4 neq 0 e x^2 neq 4 x neq pm 2 que deixam a função bem definida. Aqui, temos uma fração, e sabemos que uma fração só é válida se o denominador não for zero. Então, precisamos garantir que:
Resolvendo essa equação:
Além disso, o numerador está sempre definido para qualquer número real , já que qualquer número real ao quadrado dá um resultado válido (não importa se é positivo ou negativo). Portanto, a única restrição é que não pode ser nem .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem consiste em todos os valores possíveis que f(x, y) = y^2x^2 - 4 pode assumir. Olhando para a função:
Sabemos que é sempre não negativo ( ). O denominador pode ser positivo ou negativo, desde que não seja zero. Vamos analisar dois casos:
  1. Quando :
    • O denominador é positivo.
    • Como é não negativo, será não negativo.
  2. Quando :
    • O denominador é negativo.
    • Multiplicando por (que é não negativo), será não positivo.
Além disso, se escolhermos , , então zero está incluído na imagem. Como podemos obter valores positivos e negativos, a função pode assumir qualquer número real.

Resposta

O domínio da função é todos os pares onde e . A imagem da função é todo número real, ou seja, .

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