Determine o domínio e imagem da função f
f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O conteúdo envolve determinação de domínio por restrição do denominador e obtenção da imagem usando coordenadas polares.

Passo 2

Para o domínio precisamos que o denominador não seja zero, isto é,
x^{2}+y^{2}\neq 0.
Logo, o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid (x,y)\neq(0,0)\}.

Passo 3

Usamos coordenadas polares definindo
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0.
Substituindo em f temos
f(x,y)=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta.

Passo 4

Como \theta\mapsto\cos\theta varia entre -1 e 1 e atinge \pm1 (por exemplo, \theta=0 f=1 e \theta=\pi f=-1), concluímos que a imagem de f é o intervalo
[-1,1].

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid (x,y)\neq(0,0)\}
Imagem: [-1,1]

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